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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等差数列的通项公式 反证法 数学归纳法 试题正文
  • 解答题
    在数列{an}中，a1=1，a2=m，an+1=λan+μan-1（n≥2）。
    （1）若m=2，λ=2，μ=-1，求an；
    （2）接（1），设Sn是数列的前n项和，，探讨Sn与Tn大小，并予以证明；
    （3）若m=0，λ=1，μ=1基于事实：如果d是a与b的公约数，那么d必定是a-b的约数，问是否存在正整数k和n，使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在，请说明理由。
    本题信息：2012年湖北省期中题数学解答题难度极难 来源:叶新丽
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本试题 “在数列{an}中，a1=1，a2=m，an+1=λan+μan-1（n≥2）。（1）若m=2，λ=2，μ=-1，求an；（2）接（1），设Sn是数列的前n项和，，探讨Sn与Tn大小，并予以证明；（3...” 主要考查您对

等差数列的通项公式

反证法

数学归纳法

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  • 等差数列的通项公式
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等差数列的通项公式:

an=a1+（n-1）d，n∈N*。
an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。


对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，


等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：


反证法的定义：

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

图解：


反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。


归纳法：

对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。

数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。


数学归纳法的特点:

①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可；
②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法；
③最后一定要写“由（1）（2）……”。

数学归纳法的应用：

（1）证明恒等式；
（2）证明不等式；
（3）三角函数；
（4）计算、猜想、证明。


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