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初中二年级数学

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    计算:
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    (3)求x的值:(x-5)3+27=0。
    本题信息:2012年江苏期中题数学计算题难度一般 来源:叶新丽
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本试题 “计算:(1);(2);(3)求x的值:(x-5)3+27=0。” 主要考查您对

二次根式的加减

立方根

实数的运算

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  • 二次根式的加减
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二次根式加减法法则:
先把式子中各项二次根式化成最简二次根式,然后再合并同类二次根式。
1、同类二次根式
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。
例如:(1);2+3=5(2)+2=3
4、注意:有括号时,要先去括号。
二次根式的加减注意:
①二次根式合并同类项与合并同类项类似,因此二次根式的加减可以对比整式的加减进行;
②二次根式加减混合运算的是指就是合并同类项二次根式,不是同类二次根式不能合并。如+是最简结果,不能再合并;
③二次根式进行加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如,不能写成5
④合并同类二次根式后若系数为多项式,须添加括号。
定义:
一般地,如果一个数x的立方等于a,那么这个x叫做a的立方根。
如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x3=a),即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根。
数a的立方根记作,读作“三次根号a”。
读作:“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数。(a等于所有数,包括0)如果被开方数还有指数,那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。

开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开立方,其中a叫做被开方数。
立方根性质
①正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0。
②一般地,如果一个数X的立方等于 a,那么这个数X就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
也就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根。
如2是8的立方根,-3分之2是-27分之8的立方根,0是0的立方根。
③立方和开立方运算,互为逆运算。
④互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
⑤负数不能开平方,但能开立方。
⑥任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话,必定只有一个。
⑦当两个数相等时,这两个数的平方根相等,反之亦然。


平方根和立方根的关系:
区别:
⑴根指数不同:平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同:平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
联系:
二者都是与乘方运算互为逆运算
在部分科学计算器上面需要按SHIFT键+x3才可以打出来根号。

笔算开立方的方法:
方法一
1.将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组;
2.根据最左边一组,求得立方根的最高位数;
3.用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数;
4.用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商;并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边,观察其和是否大于余数,若大于,就减小试商再试,若不大于,试商就是立方根的第二位数;
5.用同样方法继续进行下去。
方法二
第1、2步同上。
第三步,商完后,落下余数和后面紧跟着的三位,如果后面没有就把余数后面添上三个0;
第四步,将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×(10×已商数+要试商数)×30+要商数的立方”,最接近但不超过第三步得到的数者,即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步,直到除尽。


实数的运算:
实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等,对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。

四则运算封闭性:
实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。


实数的运算法则:
1、加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用
①加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变;即:a+b=b+a;
②加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变;即:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)

3、乘法法则:
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用
①乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即:ab=ba;
②乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,即:(ab)c=a(bc);
③分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即:a(b+c)=ab+ac。

4、除法法则:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。

5、乘方:所表示的意义是n个a相乘,即an,正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数,乘方与开方互为逆运算。

实数的运算顺序:
乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。