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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等比数列的定义及性质 数学归纳法 试题正文
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    等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上。
    （1）求r的值；
    （2）当b=2时，记  bn=2（log2an+1）（n∈N*）用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，不等式成立。
    本题信息：2011年辽宁省期中题数学解答题难度较难 来源:沈诺（高中数学）
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本试题 “等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图像上。（1）求r的值；（2）当b=2时，记 bn=2（l...” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

数学归纳法

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  • 等比数列的定义及性质
  • 数学归纳法

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


归纳法：

对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。

数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。


数学归纳法的特点:

①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可；
②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法；
③最后一定要写“由（1）（2）……”。

数学归纳法的应用：

（1）证明恒等式；
（2）证明不等式；
（3）三角函数；
（4）计算、猜想、证明。


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