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高中三年级数学

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    已知数列{an},其中a1=1,a2=3,2an=an+1+an-1,(n≥2),记数列{an}的前n项和为Sn,数列{lnSn}的前n项和为Un
    (1)求Un
    (2)设(其中的导函数),计算
    本题信息:2006年四川省高考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “已知数列{an},其中a1=1,a2=3,2an=an+1+an-1,(n≥2),记数列{an}的前n项和为Sn,数列{lnSn}的前n项和为Un。(1)求Un。(2)设(其中为的导函数),计算。” 主要考查您对

对数函数的图象与性质

数列的极限

等差数列的前n项和

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  • 对数函数的图象与性质
  • 数列的极限
  • 等差数列的前n项和

对数函数的图形:


对数函数的图象与性质


对数函数与指数函数的对比:

 (1)对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称.
 (2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.当a>l时,它们是增函数;当O<a<l时,它们是减函数.
 (3)指数函数与对数函数的联系与区别:




对数函数单调性的讨论:

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一是看底数是否大于l,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性,但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个隐形陷阱),也就是要坚持“定义域优先”的原则.

利用对数函数的图象解题

涉及对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象人手,通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象,特别地,要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况,


底数对函数值大小的影响

1.在同一坐标系中分别作出函数的图象,如图所示,可以看出:当a>l时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当O<a<l时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题.
 

2.类似地,在同一坐标系中分别作出的图象,如图所示,它们的图象在第一象限的规律是:直线x=l把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小,比如分别对应函数,则必有
 
   


数列的极限定义(描述性的):

如果当项数n无限增大时,无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a(即无限地接近于0),a叫数列的极限,记作,也可记做当n→+∞时,an→a。

数列的极限严格定义

即ε-N定义:对于任何正数ε(不论它多么小),总存在某正数N,使得当n>N时,一切an都满足,a叫数列的极限。

数列极限的四则运算法则:

,则
(1)
(2)
(3)
前提条件:(1)各数列均有极限,(2)相加减时必须是有限个数列才能用法则。


an无限接近于a的方式有三种:

第一种是递增的数列,an无限接近于a,即an是在常数a的左边无限地趋近于a,如n→+∞时,
第二种是递减数列,an无限地趋近于a,即an是在常数a的右边无限地趋近于a,如n→+∞时,是
第三种是摆动数列,an无限地趋近于a,即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a,如n→+∞时,


一些常用数列的极限:

(1)常数列A,A,A,…的极限是A;
(2)当时,
(3)当|q|<1时,;当q>1时,不存在;
(4)不存在,
(5)无穷等比数列{an}中,首项a1,公比q,前n项和Sn,各项之和S,则(只有在0<|q|<1时)。


等差数列的前n项和的公式:

(1),(2),(3),(4)
当d≠0时,Sn是关于n的二次函数且常数项为0,{an}为等差数列,反之不能。


等差数列的前n项和的有关性质

(1),…成等差数列;
(2){an}有2k项时,=kd;
(3){an}有2k+1项时,S=(k+1)ak+1=(k+1)a, S=kak+1=ka,S:S=(k+1):k,S-S=ak+1=a


解决等差数列问题常用技巧:

1、等差数列中,已知5个元素:a1,an,n,d, S中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个成等差,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…,偶数个成等差,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
2、等差数列{an}中,(1)若ap=q,aq=p,则列方程组可得:d=-1,a1=p+q-1,ap+q=0,S=-(p+q);
(2)当Sp=Sq时(p≠q),数形结合分析可得Sn中最大,Sp+q=0,此时公差d<0。