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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 一般数列的通项公式 常数数列 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 试题正文
  • 解答题
    已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*），
    （1）若，求an；
    （2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数。若存在，求a1，n0，否则说明理由；
    （3）若a1=a∈（k，k+1）（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）。
    本题信息：2011年0110月考题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若，求an；（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数。若存在，求a1，n0，否则说明...” 主要考查您对

一般数列的通项公式

常数数列

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

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  • 一般数列的通项公式
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一般数列的定义：

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。


通项公式的求法：

（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。
③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。


常数列的定义：

各项相等的数列叫做常数列。


构造常数数列巧求数列的通项公式：

非零常数列既是公比为1的等比数列也是公差为0的等差数列。在数列{an}中，若an+1=an,则数列{an}为常数列，其通项公式为an=a1。在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数列，便能简捷地求出通项公式。


数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。


数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。

 

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