直线与圆的位置关系：

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
其图像如下：

直线和圆的位置关系的性质：

（1）直线l和⊙O相交d＜r
（2）直线l和⊙O相切d=r；
（3）直线l和⊙O相离d＞r。

直线与圆位置关系的判定方法：

(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由
 
推出mx²+nx+p=0，利用判别式△进行判断．
△>0则直线与圆相交；
△=0则直线与圆相切；
△<0则直线与圆相离．
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交；
d=r则直线和圆相切；
d>r则直线和圆相离．
特别提醒:
(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．
(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.

直线与圆位置关系的判定方法列表如下：

直线与圆相交的弦长公式：

（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|=

（2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有
当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=

椭圆的标准方程：

（1）中心在原点，焦点在x轴上：；
（2）中心在原点，焦点在y轴上：。
椭圆的图像：

（1）焦点在x轴：
；
（2）焦点在y轴：
。

巧记椭圆标准方程的形式：

①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
②椭圆的标准方程中，x²与y²的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；
③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a²= b²+ c²；
④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．

待定系数法求椭圆的标准方程：

求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，

双曲线的离心率的定义：

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．
(2)e的范围：e>l．
(3)e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大．

渐近线与实轴的夹角也增大。

双曲线的性质：

1、焦点在x轴上：顶点：（a，0），（-a，0）；焦点：（c，0），（-c，0）；
渐近线方程：或。
2、焦点在y轴上：顶点：（0，-a），（0，a）；焦点：（0，c），（0，-c）；
渐近线方程：或。
3、轴：x、y为对称轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c。
4、离心率；
5、中，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点。

双曲线的焦半径：

双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作

 

 

 

关于双曲线的几个重要结论：

 

(1)弦长公式（与椭圆弦长公式相同）．
(2)焦点三角形：已知的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），

的面积为
在解决与焦点三角形有关的问题时，应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用，还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题．
(3)基础三角形：如图所示，△AOB中，

 

(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．
(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足必在相应的准线上，即过焦点所作的渐近线的垂线，渐近线及相应准线三线共点．
(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切．
(7)双曲线上一点P(x₀，y₀)处的切线方程是
(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有：P(x₀，y₀)在双曲线内部（与焦点共区域) P(x₀，y₀)在双曲线外部（与焦点不其区域)