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初中三年级数学

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    九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.小组讨论后,同学们做了以下三种试验:


    请根据以上图案回答下列问题:
    (1)在图案1中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是______m2
    (2)在图案2中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为S=______(用含x的代数式表示);当AB=______m时,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案3中,如果铝合金材料总长度为lm,设AB为xm,当AB=_______m时,长方形框架ABCD的面积S最大。
    (3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案4这样的情形也存在着一定的规律,探索:如图案4如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时,那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大。
    本题信息:2006年浙江省中考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.小组讨...” 主要考查您对

写代数式

求二次函数的解析式及二次函数的应用

矩形,矩形的性质,矩形的判定

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代数式:
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。
数的一切运算规律也适用于代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。
例如:ax+2b,-2/3,b^2/26,√a+√2等。
带有“(≥)” “=”“≠”等符号的不是代数式
注意:
1、不包括等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈。
2、可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
代数式的书写要求:
一、数字与数字相乘时,中间的乘号不能用“? ”代替,更不能省略不写。
如:4乘5,写作4×5,不能写成4?5,更不能写成45
二、数字与字母相乘时,中间的乘号可以省略不写,并且数字放在字母的前面。
如: a的5倍,写作:5a 不要写成a5。
三、两个字母相乘时,中间的乘号可以省略不写,字母无顺序性
如: a乘b ,写成ab或ba 
四、当字母和带分数相乘时,要把带分数化成假分数。
如:3 1/2 乘a  写作:7/2 a    不要写成32/1a 
五、含有字母的除法运算中,最后结果要写成分数形式,分数线相当于除号。
如:5除以a  写作5/a    , 不要写成5÷a ; c除以 d写作 ,不要写成 c÷ d
六、如果代数式后面带有单位名称,是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面,若代数式是带加减运算且须注明单位的,要把代数式括起来,后面注明单位。
如:甲同学买了5本书,乙同学买了a 本书,他们一共买了(5+a )本。

代数式的书写格式:
(1)数与字母,字母与字母相乘,乘号可以省略,也可写成“.”;
(2)数字要写在前面;
(3)带分数一定要写成假分数;
(4)在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;
(5)式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来。


代数式:

求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤:
二次函数
∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
能熟练地运用二次函数解决实际问题。


二次函数的其他表达形式:
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式
y=a(x-x1)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

③三点式
已知二次函数上三个点,(x1,f(x1))(x2,f(x2))(x3,f(x3))
则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a,0)。
Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
点拨:
解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),
∵过点(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1)。
解得a=2,
∴抛物线的解析式为:
y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4。

②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
点拨:
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。

2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
点拨:
解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。
把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。

②典型例题二:
如果a>0,那么当 时,y有最小值且y最小=
如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
点拨:
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例如:
(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.

④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨:
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。


矩形:
是一种平面图形,矩形的四个角都是直角,同时矩形的对角线相等,而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形


矩形的判定
①定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积:S矩形=长×宽=ab。
黄金矩形:
宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
发现相似题
与“九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研...”考查相似的试题有: