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高中三年级数学

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    在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点F、T、M、P满足
    (1)当t变化时,求点P的轨迹C的方程;
    (2)若过点F的直线交曲线C于A,B两点,求证:直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列.
    本题信息:2012年江苏同步题数学解答题难度极难 来源:沈诺(高中数学)
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本试题 “在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点F、T、M、P满足,,.(1)当t变化时,求点P的轨迹C的方程;(2)若过点F的直线交曲线C于A,B两点,求证:直线TA、TF、T...” 主要考查您对

等差数列的定义及性质

动点的轨迹方程

直线与抛物线的应用

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 等差数列的定义及性质
  • 动点的轨迹方程
  • 直线与抛物线的应用

等差数列的定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。


等差数列的性质:

(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;
(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;
(3)m,n∈N*,则am=an+(m-n)d;
(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有as+at=2ap
(5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数。
(6)
(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即
(8) 仍为等差数列,公差为


 


对等差数列定义的理解:

①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列. 
②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有 还有
③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;
⑤证明一个数列是等差数列,只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法:

(1)学会运用函数与方程思想解题;
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).


 动点的轨迹方程:

 在直角坐标系中,动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。


求动点的轨迹方程的基本方法:

直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。
1、直接法:
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2、定义法:
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件;
3、相关点法:
动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x′,y′表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。一般地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。
4、参数法:
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少)。
5、交轨法:
求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

求轨迹方程的步骤:

(l)建系,设点建立适当的坐标系,设曲线上任意一点的坐标为M(x,y);
(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)};
(3)列式用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 


设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),抛物线的方程为y2=2px(p>0),将直线的方程代入抛物线的方程,消去y(或x) 得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。

直线与抛物线的位置关系:

直线和抛物线的位置关系,可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,同时注意过焦点的弦的一些性质,如:


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