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初中二年级数学

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    △ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2。

    (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由;
    (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为S1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S2(如图2),则S2=_____;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为S3,继续操作下去…,则第10次剪取时,S10=_____;
    (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。
    本题信息:2012年同步题数学解答题难度极难 来源:叶新丽
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本试题 “△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2。(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法...” 主要考查您对

探索规律

勾股定理

正方形,正方形的性质,正方形的判定

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探索规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
(1)掌握探究规律的方法,可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法,有时通过类比、联想,还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析,从中找出隐含的规律;
(2)恰当合理的联想、猜想,从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路,经过归纳、提炼、加工,寻找出一般性规律,从而求解问题。

探索规律题题型和解题思路:
1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况,解答时要注意全面性,类似于讨论;解题应从结论着手,逆推其条件,或从反面论证,解题过程类似于分析法。

2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
探索结论型题的特点是结论有多种可能,即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的;
探索结论型题的一般解题思路是:
(1)从特殊情形入手,发现一般性的结论;
(2)在一般的情况下,证明猜想的正确性;
(3)也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目;
图形运动题的关键是抓住图形的本质特征,并仿照原题进行证明。在探索递推时,往往从少到多,从简单到复杂,要通过比较和分析,找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。

4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
探索存在型题的结论只有两种可能:存在或不存在;
存在型问题的解题步骤是:
①假设存在;
②推理得出结论(若得出矛盾,则结论不存在;若不得出矛盾,则结论存在)。
 解答探索题型,必须在缜密审题的基础上,利用学具,按照要求在动态的过程中,通过归纳、想象、猜想,进行规律的探索,提出观点与看法,利用旧知识的迁移类比发现接替方法,或从特殊、简单的情况入手,寻找规律,找到接替方法;解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用;因此其成果具有独创性、新颖性,其思维必须严格结合给定条件结论,培养了学生的发散思维,这也是数学综合应用的能力要求。


勾股定理:
直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
勾股定理只适用于直角三角形,应用于解决直角三角形中的线段求值问题。
定理作用
⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现,从而深刻揭示了数与量的区别,即所谓“无理数"与有理数的差别,这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程,也是最早得出完整解答的不定方程,它一方面引导到各式各样的不定方程,包括著名的费尔马大定理,另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
勾股定理的应用:
数学
从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等,运用勾股定理数学家还发现了无理数。
勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛,较早的应用案例有《九章算术》中的一题:“今有池,芳一丈,薛生其中央,出水一尺,引薛赴岸,适与岸齐,问水深几何?答曰:"一十二尺"。

生活
勾股定理在生活中的应用也较广泛,举例说明如下:
1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例,最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积,从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕,也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点:
第一,屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;
第二,屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;
第三,屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3,教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕,根据勾股定理,很快就能得出屏幕的宽为1.5m,高为1.1m。
2、2005年珠峰高度复测行动。
测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法,就是把高程引到珠峰脚下,当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程,配合水准测量、三角测量、导线测量等方式,获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算,最终得到珠峰高程的有效数据。
通俗来说,就是分三步走:
第一步,先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点,先把这些点的精确高程确定下来;
第二步,在珠峰峰顶架起觇标,运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理,推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差;
第三步,获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算,最终确定珠峰高程测量的有效数据。
正方形的定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
特殊的长方形。
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形。
对角线平分且相等,并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
对角线相等的菱形是正方形。

正方形的性质:
1、边:两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直
2、内角:四个角都是90°;
3、对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;
4、对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴);
5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质;
6、特殊性质:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;
7、在正方形里面画一个最大的圆,该圆的面积约是正方形面积的78.5%;
正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
8、正方形是特殊的长方形。


正方形的判定:
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:先证明它是平行四边形,再证明它是菱形(或矩形),最后证明它是矩形(或菱形)。
1:对角线相等的菱形是正方形。
2:有一个角为直角的菱形是正方形。
3:对角线互相垂直的矩形是正方形。
4:一组邻边相等的矩形是正方形。
5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7:对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

有关计算公式:
若S为正方形的面积,C为正方形的周长,a为正方形的边长,则
正方形面积计算公式:S =a×a(即a的2次方或a的平方),或S=对角线×对角线÷2;
正方形周长计算公式: C=4a 。
S正方形=。(正方形边长为a,对角线长为b)


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