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高中三年级数学

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    已知两定点F1(-,0),F2,0),满足条件=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,
    (Ⅰ)求k的取值范围;
    (Ⅱ)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和△ABC的面积S。
    本题信息:2012年陕西省模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知两定点F1(-,0),F2(,0),满足条件=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,(Ⅰ)求k的取值范围;(Ⅱ)如果,且曲线E上存在点C,使,...” 主要考查您对

向量的加、减法运算及几何意义

两点间的距离

点到直线的距离

双曲线的定义

直线与双曲线的应用

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  • 向量的加、减法运算及几何意义
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向量加法的定义:

已知非零向量ab,在平面内任取一点A,作,再做向量,则向量叫做的和,即
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

向量加法的三角形法则:

已知非零向量a,b,在平面内任意取一点A,作a,

这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则,如图
 
 
向量加法的平行四边形法则:
 
以同一点O起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是ab的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则,如图.
  

向量减法的定义:

向量与向量的相反向量的和,叫做向量与向量的差,记作:
作向量减法有“三角形法则”:设,那么,由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意:此处减向量与被减向量的起点相同。

向量减法的作图法:

 
 
  
 因此,a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.

坐标运算:

已知,则


向量加减法的运算律:

(1)交换律:
(2)结合律:


求向量的和的三角形法则的理解:

使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量,仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。

作两个向量的和向量,可分四步:

①取点,注意取点的任意性;
②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;
③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;
④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.

向量的加法需要说明的几点:

①当两个非零向量ab不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
②当两个非零向量ab共线时,
a.向量ab同向(如下图),即向量a+ba(b)方向相同,且
 
b.向量ab反向(如上图)且|a|<|b|时,即a+bb方向相同(与a方向相反),且

综上可知

向量减法的理解:

①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法,其实,向量减法的实质是向量加法的逆运算.两个向量的差仍是向量;
②作差向量时,作法一较为复杂,作法二较为简捷,应根据问题的需要灵活运用;
③以为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的,应该加强理解并记住;
④对于任意一点O,简记为“中减起”,在解题中经常用到,必须记住.


两点间的距离公式:

是平面直角坐标系中的两个点,则
特别地,原点O(0,0)与任意一点P(x,y)的距离为


两点间的距离公式的理解:

(1)在公式中,的位置是对称的,没有先后之分,即间的距离也可表示为
(2)


点到直线的距离公式:

1、若点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)上,则Ax0+By0+C=0。
2、若点P(x0,y0)不在直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)上,则Ax0+By0+C≠0,此时点P(x0,y0)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=


点到直线的距离公式的理解:

①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动观点来看的).
②若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.
③点到直线的距离公式适用于任何情况,其中点P在直线l上时,它到直线的距离为0.
④点到几种特殊直线的距离:
 

 

 
 

双曲线第一定义:

平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于定长2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线,即||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点射线,若2a>|F1F2|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

双曲线的第二定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(e>1)的动点的轨迹叫双曲线。


双曲线的理解:

的轨迹为近的一支; 的一支。
注:的延长线和反向延长线(两条射线);则轨迹不存在;的垂直平分线。


直线与双曲线:

设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),双曲线的方程:,将直线的方程代入双曲线的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。


双曲线的综合问题:

双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系,综合考查数学知识及应用是高考的重点,应用中应注意对知识的综合及分析能力,双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量,如“a,b,c,e"树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助.另外,渐近线是双曲线特有的,双曲线的渐近线方程可记为

为渐近线的双曲线方程可设为.特别地,等轴双曲线方程可设为
的垂直关系的证明可以通过来证明,也可以通过来证明,它体现了证明解析几何问题方法的多样性.