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高中三年级数学

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    首项为正数的数列{an}满足a n+1=(an2+3),n∈N+.
    (1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;
    (2)若对一切n∈N+都有an+1>an,求a1的取值范围.
    本题信息:2012年江苏月考题数学解答题难度较难 来源:沈诺(高中数学)
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本试题 “首项为正数的数列{an}满足an+1=(an2+3),n∈N+.(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;(2)若对一切n∈N+都有an+1>an,求a1的取值范围.” 主要考查您对

一般数列的项

递增数列和递减数列

数学归纳法

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  • 数学归纳法

一般数列的项的定义:

数列中的每一个数叫做这个数列的项。


数列项的性质:

①数列的项具有有序性,一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区分开来,;
②数列的项具有可重复性,数列中的数可重复出现,这也要与集合中元素的互异性区分开来:
③注意an与{an}的区别:an表示数列{an}的第n 项,而{an}表示数列a1,a2,…,an,…,


方法提炼:

1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用(1)作差法;(2)作差法;(3)结合函数图像等方法;
2.若求最大项an,则an满足an≥an+1且an≥an-1;若求最小项an,则an满足an≤an+1且anan-1。


递增数列的定义:

一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义:

如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列:

递增数列和递减数列通称为单调数列. 


数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。


归纳法:

对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。

数学归纳法:

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立;
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法叫做数学归纳法。


数学归纳法的特点:

①用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要,两步骤缺一不可;
②第二步证明,由假设n=k时命题成立,到n=k+1时.必须用假设条件,否则不是数学归纳法;
③最后一定要写“由(1)(2)……”。

数学归纳法的应用:

(1)证明恒等式;
(2)证明不等式;
(3)三角函数;
(4)计算、猜想、证明。


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