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高中三年级数学

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    (选做题)
    直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T,
    (Ⅰ)求点T的极坐标;
    (Ⅱ)过点T作直线l′,l′被曲线C截得的线段长为2,求直线l′的极坐标方程。
    本题信息:2012年河北省模拟题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “(选做题)直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T,(...” 主要考查您对

极坐标系

简单曲线的极坐标方程

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  • 极坐标系
  • 简单曲线的极坐标方程

极坐标系的定义:

在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角。

点的极坐标:

设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标,如图,


极坐标系的四要素:

极点,极轴,长度单位,角度单位和它的正方向.极坐标系的四要素,缺一不可.

极坐标系的特别注意:

①关于θ和ρ的正负:极角θ的始边是极轴,取逆时针方向为正,顺时针方向为负,θ的值一般以弧度为单位。
 

极坐标和直角坐标的互化:

(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合;
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式

特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取所在的象限取最小正角;
②当
③直角坐标方程及极坐标方程互化时,要切实注意互化前后方程的等价性.
④若极点与坐标原点不是同一个点.如图,设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为(x,y),在以为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′),极坐标为(ρ,θ),则有

第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标.


曲线的极坐标方程的定义:

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程。


求曲线的极坐标方程的常用方法:

直译法、待定系数法、相关点法等。

圆心为(α,β)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程为,此圆过极点O。

直线的极坐标方程:

直线的极坐标方程是ρ=1/(2cosθ+4sinθ)。

圆的极坐标方程:


这是圆在极坐标系下的一般方程。
 
过极点且半径为r的圆方程:
 
 

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