本试题 “已知如图几何体,正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AF=2AB=2AD,M为AF的中点,BN⊥CE,(Ⅰ)求证:CF∥平面BDM;(Ⅱ)求二面角M-BD-N 的大小。” 主要考查您对直线与平面平行的判定与性质
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
线面平行的定义:
若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行。
线面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言:
线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
符号语言:
证明直线与平面平行的常用方法:
(l)反证法,即
(2)判定定理法,即
(3)面面平行的性质定理,即
(4)向量法,平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直,则直线与平面平行,即
异面直线所成角:
,
(其中为异面直线a,b所成角,分别表示异面直线a,b的方向向量)。
直线AB与平面所成角:
(为平面α的法向量);
二面角的平面角:
或(,为平面α,β的法向量)。
用向量求异面直线所成角注意:
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象的要求,所以需引起我们的重视,用向量法时,需注意两异面直线夹角的范围是
②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法,也可选择空间向量的向量法:
①求直线和平面所成角的步骤:作出斜线与其射影所成的角;证明所作的角就是要求的角;常在直角三角形(垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小:
②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径:一是直接求其中OP′,为斜线OP在平面α内的射影;二是通过求进而转化求解,其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意:
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小;
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小.
求二面角,大致有两种基本方法:
(1)传统立体几何的综合推理法:①定义法;②垂面法;③三垂线定理法;④射影面积法.
(2)空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,分别求出两个平面的法向量,通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.
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