本试题 “已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点。(Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程;(...” 主要考查您对直线的方程
直线与椭圆方程的应用
抛物线的标准方程及图象
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直线方程的定义:
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。
基本的思想和方法:
求直线方程是解析几何常见的问题之一,恰当选择方程的形式是每一步,然后釆用待定系数法确定方程,在求直线方程时,要注意斜率是否存在,利用截距式时,不能忽视截距为0的情形,同时要区分“截距”和“距离”。
直线方程的几种形式:
1.点斜式方程:
(1),(直线l过点,且斜率为k)。
(2)当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
2.斜截式方程:已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线的方程为:y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线。
3.两点式方程:已知直线经过(x1,y1),(x2,y2)两点,则直线方程为:
4.截距式方程:已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为:(a、b≠0)。
5.一般式方程:(1)定义:任何直线均可写成:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。(2)特殊的方程如:平行于x轴的直线:y=b(b为常数);平行于y轴的直线:x=a(a为常数)。
几种特殊位置的直线方程:
直线与椭圆的方程:
设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),椭圆(a>b>0),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。
椭圆的焦半径、焦点弦和通径:
(1)焦半径公式:
①焦点在x轴上时:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0;
②焦点在y轴上时:|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0;
(2)焦点弦:
过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦.设过椭圆的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2a+e(x1+x2).由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.
(3)通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,其长为
椭圆中焦点三角形的解法:
椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理,解题中,通过变形,使之出现,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,打开解题思路,整体代换求是这类问题中的常用技巧。
关于椭圆的几个重要结论:
(1)弦长公式:
(2)焦点三角形:
上异于长轴端点的点,
(3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
(4)椭圆的切线:处的切线方程为
抛物线的标准方程及图像(见下表):
抛物线的标准方程的理解:
①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程,即顶点在原点,焦点在坐标轴上;
②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数,它的几何意义是:焦点到准线的距离.焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
③抛物线的标准方程有四种类型,所以判断其类型是解题的关键,在方程的类型已确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程;
④对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,得出其异同点。
共同点:
a.原点在抛物线上;
b.焦点都在坐标轴上;
c.准线与焦点所在轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
不同点:
a.焦点在x轴上时,方程的右侧为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
b.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
求抛物线的标准方程的常用方法:
(1)定义法求抛物线的标准方程:定义法求曲线方程是经常用的一种方法,关键是理解定义的实质及注意条件,将所给条件转化为定义的条件,当然还应注意特殊情况.
(2)待定系数法求抛物线的标准方程:求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法,为避免开口不确定,分成(p>0)两种情况求解的麻烦,可以设成(m,n≠0),若m、n>0,开口向右或向上;m、n<0,开口向左或向下;m、n有两解,则抛物线的标准方程各有两个。
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