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高中三年级数学

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    已知f1(x)=x(x≠0),若对任意的n∈N*,fw(1)=1,且fmax(x)=fv(x)+xfne(x).(1)求fn(x)的解析式;
    (2)设Fn(x)=,求证:F1(2)+F2(2)+…Fn(2)<1;
    (3)若ge(x)=C6020+2C601f1(x)+3C602f2(x)+…+(n+1)Cnxfn(x),是否存在实数x,使得g1(x)+g2(x)+…gn(x)=(n+1)(1+x)a,说明理由.
    本题信息:2012年月考题数学解答题难度极难 来源:高晓飞(高中数学)
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本试题 “已知f1(x)=x(x≠0),若对任意的n∈N*,fw(1)=1,且fmax(x)=fv(x)+xfne(x).(1)求fn(x)的解析式;(2)设Fn(x)=,求证:F1(2)+F2(2)+…Fn...” 主要考查您对

函数解析式的求解及其常用方法

导数的概念及其几何意义

反证法与放缩法

二项式定理与性质

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  • 函数解析式的求解及其常用方法
  • 导数的概念及其几何意义
  • 反证法与放缩法
  • 二项式定理与性质

函数解析式的常用求解方法:

(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。


平均变化率:

一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率
  
上式中的值可正可负,但不为0.f(x)为常数函数时, 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.

函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即

导函数:

如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=

切线及导数的几何意义:

(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=


瞬时速度特别提醒:

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,

 函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:

①当时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但.而函数的增量可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点:

①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).

导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒

①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.


反证法的定义:

有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明,我们可以用间接的方法——反证法去证明,即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。

放缩法的定义:

把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式,比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正数)使不等式简化易证。


反证法证题的步骤:

若A成立,求证B成立。
共分三步:
(1)提出与结论相反的假设;如负数的反面是非负数,正数的反面是非正数即0和负数;
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错);
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.矛盾:与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。

放缩法的意义:

放缩法理论依据是不等式的传递性:若,a<b,b<c,则a<c.

放缩法的操作:

若求证P<Q,先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<Q.
需注意:(1)只有同方向才可以放缩,反方向不可。
(2)不能放(缩)得太大(小),否则不会有最后的Pn<Q.



二项式定理:


它共有n+1项,其中(r=0,1,2…n)叫做二项式系数,叫做二项式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项.


二项式系数的性质:

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
(2)增减性与最大值:当r≤时,二项式系数的值逐渐增大;当r≥时,的值逐渐减小,且在中间取得最大值。
当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。


二项式定理的特别提醒:

的二项展开式中有(n+1)项,比二项式的次数大1.
②二项式系数都是组合数,它与二项展开式的系数是两个不同的概念,在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。
③二项式定理形式上的特点:
在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,a的次数由n逐项减小1,直到0,同时字母6按升幂排列,次数由0逐项增加1,直到n,并且形式不能乱.
④二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列次序是不同的,注意不要混淆.
⑤二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,该等式都成立,因而,对a,b取不同的特殊值,可以对某些问题的求解提供方便,二项式定理通常有如下两种情形:
⑥对二项式定理还可以逆用,即可用于式子的化简。 

二项式定理常见的利用:

方法1:利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法:
(1)用二项式定理证明组合数不等式时,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等式证明的方法进行论证.
(2)运用时应注意巧妙地构造二项式.证明不等式时,应注意运用放缩法,即对结论不构成影响的若干项可以去掉.
方法2:利用二项式定理证明整除问题或求余数:
(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是要巧妙地构造二项式,其基本做法是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.
(2)用二项式定理处理整除问题时,通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了.
(3)要注意余数的范围,为余数,b∈[0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数要注意转换.
方法3:利用二项式进行近似解:
当a的绝对值与1相比很少且n不大时,常用近似公式,因为这时展开式的后面部分很小,可以忽略不计,类似地,有 但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求.要根据要求选取展开式中保留的项,以最后一项小数位超要求即可,少了不合要求,多了无用且增加麻烦. 
方法4:求展开式特定项:
(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求,以确定公式中r的取值或范围.
(2)要正确区分二项式系数与展开式系数,对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题,要注意系数的正负.
方法5:复制法
利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地,对于多项式

方法6:多项式的展开式问题:
对于多项式(a+b+c)n我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式,再利用二项式定理,求解有关问题。