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高中三年级数学

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    双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线,
    (1)求双曲线C的方程;
    (2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当,且时,求Q点的坐标。
    本题信息:2006年山东省高考真题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线,(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不...” 主要考查您对

向量共线的充要条件及坐标表示

双曲线的标准方程及图象

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向量共线的充要条件:

向量共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得

向量共线的几何表示:

,其中,当且仅当时,向量共线。


向量共线(平行)基本定理的理解:

(1)对于向量aa≠0),b,如果有一个实数λ,使得ba,那么由向量数乘的定义知,ab共线.
(2)反过来,已知向量ab共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当ab同方向时,有b=μa;当ab反方向时,有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括重合.
(4)判断a(a≠0)b是否共线时,关键是寻找a前面的系数,如果系数有且只有一个,说明共线;如果找不到满足条件的系数,则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0,则数λ仍然存在,且此时λ并不唯一,是任意数值.


双曲线的标准方程:

(1)中心在原点,焦点在x轴上:
(2)中心在原点,焦点在y轴上:
双曲线的图像:

(1)焦点在x轴上的双曲线的图像

(2)焦点在y轴上的双曲线的图像


判断双曲线的焦点在哪个轴上:

判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

定义法求双曲线的标准方程:

求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,

待定系数法求双曲线的标准方程:

在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.

利用双曲线的性质求解有关问题:

要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即


几种特殊的双曲线:

等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直
共轭双曲线
共渐近线的双曲线

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