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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等比数列的定义及性质 数列的极限 常数数列 试题正文
  • 解答题
    已知函数（x≠-1，x∈R），数列{an}满足a1=a（a≠-1，x∈R），an+1=f（an）（n∈N*），
    （1）若数列{an}是常数列，求a的值；
    （2）当a1=4时，记bn=（n∈N*），证明数列{bn}是等比数列，并求。
    本题信息：2012年上海月考题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “已知函数（x≠-1，x∈R），数列{an}满足a1=a（a≠-1，x∈R），an+1=f（an）（n∈N*），（1）若数列{an}是常数列，求a的值；（2）当a1=4时，记bn=（n∈N*），证明数...” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

数列的极限

常数数列

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等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即无限地接近于0），a叫数列的极限，记作，也可记做当n→+∞时，an→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足，a叫数列的极限。

数列极限的四则运算法则：

若，则
（1），；
（2），；
（3）。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。


an无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，；
第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，。


一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当时，；
（3）当|q|＜1时，；当q＞1时，不存在；
（4）不存在，。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则（只有在0＜|q|＜1时）。


常数列的定义：

各项相等的数列叫做常数列。


构造常数数列巧求数列的通项公式：

非零常数列既是公比为1的等比数列也是公差为0的等差数列。在数列{an}中，若an+1=an,则数列{an}为常数列，其通项公式为an=a1。在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数列，便能简捷地求出通项公式。


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