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    设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1
    (1)写出曲线C1的方程;
    (2)证明曲线C与C1关于点A(
    t
    2
    s
    2
    )对称;
    (3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=
    t3
    4
    -t且t≠0.
    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线C与C1关于点A(t2,s2)对称;(3)如...” 主要考查您对

函数零点的判定定理

曲线的方程

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  • 函数零点的判定定理
  • 曲线的方程

函数零点存在性定理:

一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<o,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
 (3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.


函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.


曲线的方程的定义:

在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线的方程的步骤:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。


求曲线的方程的步骤:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

求曲线方程的常用方法:

(1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
(2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
(4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
(5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
(6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。