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高中三年级数学

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    已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为
    (Ⅰ)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
    (Ⅱ)求直线AM的参数方程。
    本题信息:2010年辽宁省高考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为。(Ⅰ)以O为极点,x轴的正半轴为极轴...” 主要考查您对

极坐标系

圆的参数方程

直线的参数方程

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极坐标系的定义:

在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角。

点的极坐标:

设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标,如图,


极坐标系的四要素:

极点,极轴,长度单位,角度单位和它的正方向.极坐标系的四要素,缺一不可.

极坐标系的特别注意:

①关于θ和ρ的正负:极角θ的始边是极轴,取逆时针方向为正,顺时针方向为负,θ的值一般以弧度为单位。
 

极坐标和直角坐标的互化:

(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合;
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式

特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取所在的象限取最小正角;
②当
③直角坐标方程及极坐标方程互化时,要切实注意互化前后方程的等价性.
④若极点与坐标原点不是同一个点.如图,设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为(x,y),在以为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′),极坐标为(ρ,θ),则有

第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标.


圆的参数方程:

(θ∈[0,2π)),(a,b)为圆心坐标,r为圆的半径,θ为参数(x,y)为经过点的坐标。

 


圆心为原点,半径为r的圆的参数方程:

如图,如果点P的坐标为(x,y),圆半径为r, 根据三角函数定义,点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数,即
 


直线的参数方程:

过定点倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)。


直线的参数方程及其推导过程:

e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右(l的倾斜角为0)的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同).直线l的倾斜角为α,定点M0、动点M的坐标分别为
 

直线的参数方程中参数t的几何意义是:表示参数t对应的点M到定点Mo的距离,当同向时,t取正数;当异向时,t取负数;当点M与Mo重合时,t=0.


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