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初中二年级数学

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    下列语句中正确的是
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    A. 正数的算术平方根一定比本身小
    B. 两个无理数的和不一定是无理数
    C. 两个无理数的商一定是无理数
    D.实数m的倒数一定是
    本题信息:2010年四川省期末题数学单选题难度一般 来源:王波(初中数学)
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本试题 “下列语句中正确的是[ ]A. 正数的算术平方根一定比本身小B. 两个无理数的和不一定是无理数C. 两个无理数的商一定是无理数D.实数m的倒数一定是” 主要考查您对

倒数

算术平方根

实数的运算

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  • 倒数
  • 算术平方根
  • 实数的运算
倒数的定义:
如果两个数的乘积等于1,那么这两个数就叫做互为倒数。
倒数性质
(1)若a、b互为倒数,则ab=1,或,反之也成立;
(2)0没有倒数;
(3)乘积为-1的两个数互为负倒数,即ab=-1,则ab互为负倒数,反之也成立。

倒数的特点
一个正实数(1除外)加上它的倒数 一定大于2。
理由:a/b,b/a为倒数当a>b时a/b一定大于1,可写为1+(a-b)/b。因为:
   b/a+(a-b)/a
=b×b/a×b+(a÷b-b×b)/ab
=(a×a-b×b+b×b)/ab
=a×a/a×b,
又因为a>b,
所以a·a>a·b,
所以a·a/a·b>1,
所以1+(a-b)/b+a·a/a·b>2,
所以一个正实数加上它的倒数一定大于2。
当b>a时也一样。
同理可证,一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2。
倒数的求法:
1.求一个分数的倒数,例如3/4,我们只须把3/4这个分数的分子和分母交换位置,即得3/4的倒数为4/3。

2.求一个整数的倒数,只须把这个整数看成是分母为1的分数,然后再按求分数倒数的方法即可得到。
如12,即12/1,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把分子做分母,分母做分子,则有1/12。 即12倒数是1/12。
说明:倒数是本身的数是1和-1。(0没有倒数)

把0.25化成分数,即1/4
再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子.则是4/1
再把4/1化成整数,即4
所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数
也可以用1去除以这个数,例如0.25
1/0.25等于4
所以0.25的倒数4.
因为乘积是1的两个数互为倒数。
分数、整数也都使不完整用这种规律。
概念:
若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x为a的算术平方根。
规定:0的算术平方根是0。
表示:a的算术平方根记为,读作“根号a”。
注:只有非负数有算术平方根,而且只有一个算术平方根。

平方根和算术平方根的区别与联系:
区别:
(1)定义不同:如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。
(3)表示方法不同:正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为
(4)取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根一正一负,两数互为相反数。
联系:
(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种,是正的平方根。
(2)存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根。
(3)0的平方根,算术平方根均为0。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
注:
(1)平方和开平方的关系是互为逆运算;
(2)乘方是求根的途径,开平方是一种运算,是求平方根的过程;
(3)开方的方式是根号形式。

电脑根号的打法:
比较通用:
左手按住换档键(Alt键)不放,接着依次按41420然后松开左手,根号√ ̄就出来了。
运用Word的域命令在Word中根号:
首先按住Ctrl+F9,出现{}后,在{}内输入EQ空格 (开方次数,根号内的表达式),最后按住Shift+F9,就会生成你所要求的根式
1.平方根
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。比如 9 的平方根是3,-3。而5的平方根是√5,-√5。规定,零的平方根是0。负数没有平方根。
2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定,零的算术平方根是0。
算术平方根是定义在平方根基础上,因此负数没有算术平方根。
3.实数a的算术平方根记作√ ̄a,其中a≥0,根据以上定义有√ ̄a≥0。

实数的运算:
实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等,对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。

四则运算封闭性:
实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。


实数的运算法则:
1、加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用
①加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变;即:a+b=b+a;
②加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变;即:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)

3、乘法法则:
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用
①乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即:ab=ba;
②乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,即:(ab)c=a(bc);
③分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即:a(b+c)=ab+ac。

4、除法法则:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。

5、乘方:所表示的意义是n个a相乘,即an,正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数,乘方与开方互为逆运算。

实数的运算顺序:
乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。