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高中三年级数学

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    已知f(x)=-,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0。
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)数列{bn}的前n项和为Tn且满足,设定b1的值使得数列{bn}是等差数列;
    (3)求证:.
    本题信息:2011年辽宁省期中题数学解答题难度极难 来源:沈诺(高中数学)
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本试题 “已知f(x)=-,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0。(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Tn且满足...” 主要考查您对

等差数列的通项公式

等差数列的前n项和

反证法与放缩法

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  • 等差数列的通项公式
  • 等差数列的前n项和
  • 反证法与放缩法

等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d,n∈N*。
an=dn+a1-d,d≠0时,是关于n的一次函数,斜率为公差d;
an=kn+b(k≠){an}为等差数列,反之不能。


对等差数列的通项公式的理解:

 ①从方程的观点来看,等差数列的通项公式中含有四个量,只要已知其中三个,即可求出另外一个.其中a1和d是基本量,只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项;
②从函数的观点来看,在等差数列的通项公式中,。。是n的一次函数,其图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀排开的一列孤立点,我们知道两点确定一条直线,因此,给出一个等差数列的任意两项,等差数列就被唯一确定了,


等差数列公式的推导:

等差数列的通项公式可由归纳得出,当然,等差数列的通项公式也可用累加法得到:


等差数列的前n项和的公式:

(1),(2),(3),(4)
当d≠0时,Sn是关于n的二次函数且常数项为0,{an}为等差数列,反之不能。


等差数列的前n项和的有关性质

(1),…成等差数列;
(2){an}有2k项时,=kd;
(3){an}有2k+1项时,S=(k+1)ak+1=(k+1)a, S=kak+1=ka,S:S=(k+1):k,S-S=ak+1=a


解决等差数列问题常用技巧:

1、等差数列中,已知5个元素:a1,an,n,d, S中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个成等差,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…,偶数个成等差,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
2、等差数列{an}中,(1)若ap=q,aq=p,则列方程组可得:d=-1,a1=p+q-1,ap+q=0,S=-(p+q);
(2)当Sp=Sq时(p≠q),数形结合分析可得Sn中最大,Sp+q=0,此时公差d<0。 
 


反证法的定义:

有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明,我们可以用间接的方法——反证法去证明,即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。

放缩法的定义:

把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式,比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正数)使不等式简化易证。


反证法证题的步骤:

若A成立,求证B成立。
共分三步:
(1)提出与结论相反的假设;如负数的反面是非负数,正数的反面是非正数即0和负数;
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错);
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.矛盾:与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。

放缩法的意义:

放缩法理论依据是不等式的传递性:若,a<b,b<c,则a<c.

放缩法的操作:

若求证P<Q,先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<Q.
需注意:(1)只有同方向才可以放缩,反方向不可。
(2)不能放(缩)得太大(小),否则不会有最后的Pn<Q.