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高中一年级数学

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    一次函数f(x)=mx+n与指数型函数g(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图像交于两点A(0,1),B(1,2),解答下列各题:
    (1)求一次函数f(x)和指数型函数g(x)的表达式;
    (2)作出这两个函数的图像;
    (3)填空:当x∈____时,f(x)≥g(x);当x∈____时,f(x)<g(x)。


    本题信息:2011年0112月考题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “一次函数f(x)=mx+n与指数型函数g(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图像交于两点A(0,1),B(1,2),解答下列各题:(1)求一次函数f(x)和指数型函数g(x)的...” 主要考查您对

一次函数的性质与应用

指数函数的解析式及定义(定义域、值域)

指数函数的图象与性质

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  • 一次函数的性质与应用
  • 指数函数的解析式及定义(定义域、值域)
  • 指数函数的图象与性质

一次函数的定义和图像:

(1)定义:一般地,形如y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
(2)图象:一次函数的图像是一条直线,过(0,b),(,0)两点,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距。


一次函数的性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小。
(3)当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是奇函数也不是偶函数。
(4)k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像:

当k>0时,
若b=0,则图像过第一、三象限;
若b>0,则图像过第一、二、三象限;
若b<0,则图像过第一、三、四象限。

当k>0时,
若b=0,则图像过第二、四象限;
若b>0,则图像过第一、二、四象限;
若b<0,则图像过第二、三、四象限。

应用:应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。


指数函数的定义

一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R,值域是(0,+∞)。

指数函数的解析式

y=ax(a>0,且a≠1)


 理解指数函数定义,需注意的几个问题

①因为a>0,x是任意一个实数时,ax是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.
②规定底数a大于零且不等于1的理由:

如果a<0,比如y=(-4)x,这时对于在实数范围内函数值不存在.
如果a=1,y=1x=1是一个常量,对它就没有研究的必要,
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.
③像等函数都不是指数函数,要注意区分。


指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质: 

0<a<1 a>1
图像
图像 定义域 R
值域 (0,+∞)
恒过定点 图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1
单调性 在(-∞,+∞)上是减函数 在(-∞,+∞)上是增函数
函数值的变化规律 当x<0时,y>1 当x<0时,0<y<1
当x=0时,y=1 当x=0时,y=1
当x>0时,0<y<1 当x>0时,y>1

底数对指数函数的影响:

①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
 
③当a>0,且a≠l时,函数 与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小:

 若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
 若底数不同而指数相同,用作商法比较;
 若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,


指数函数图象的应用:

函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.