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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等比数列的定义及性质 直线与椭圆方程的应用 试题正文
  • 证明题
    点P（x0，y0）在椭圆1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ，
    （Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；
    （Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列。
    本题信息：2009年安徽省高考真题数学证明题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “点P（x0，y0）在椭圆1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ，（Ⅰ）证明：点...” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

直线与椭圆方程的应用

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  • 等比数列的定义及性质
  • 直线与椭圆方程的应用

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


直线与椭圆的方程：

设直线l的方程为：Ax+By+C=0（A、B不同时为零），椭圆（a＞b＞0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y（或x）得到一元二次方程，进而应用根与系数的关系解题。


椭圆的焦半径、焦点弦和通径：

（1）焦半径公式：
①焦点在x轴上时：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；
②焦点在y轴上时：|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;
(2)焦点弦：
过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦．设过椭圆的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=2a+e(x1+x2)．由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数．
(3)通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 

椭圆中焦点三角形的解法：

椭圆上的点与两个焦点F1，F2所构成的三角形，通常称之为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理，解题中，通过变形，使之出现，这样便于运用椭圆的定义，得到a，c的关系，打开解题思路，整体代换求是这类问题中的常用技巧。


关于椭圆的几个重要结论：

（1）弦长公式：

（2）焦点三角形：
上异于长轴端点的点，
(3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．
(4)椭圆的切线：处的切线方程为


（5）对于椭圆，我们有
 
 

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