本试题 “数列{an}满足a1=1,且,(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828…。” 主要考查您对反证法与放缩法
数学归纳法
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反证法的定义:
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明,我们可以用间接的方法——反证法去证明,即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义:
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式,比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正数)使不等式简化易证。
反证法证题的步骤:
若A成立,求证B成立。
共分三步:
(1)提出与结论相反的假设;如负数的反面是非负数,正数的反面是非正数即0和负数;
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错);
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.矛盾:与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。
放缩法的意义:
放缩法理论依据是不等式的传递性:若,a<b,b<c,则a<c.
放缩法的操作:
若求证P<Q,先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<Q.
需注意:(1)只有同方向才可以放缩,反方向不可。
(2)不能放(缩)得太大(小),否则不会有最后的Pn<Q.
归纳法:
对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法:
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立;
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要,两步骤缺一不可;
②第二步证明,由假设n=k时命题成立,到n=k+1时.必须用假设条件,否则不是数学归纳法;
③最后一定要写“由(1)(2)……”。
数学归纳法的应用:
(1)证明恒等式;
(2)证明不等式;
(3)三角函数;
(4)计算、猜想、证明。
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