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高中三年级数学

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    (选做题)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,

    证明:(1)CD=BC;
    (2)△BCD~△GBD。
    本题信息:2012年高考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “(选做题)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD~△GBD。” 主要考查您对

相似三角形的判定及有关性质

综合法与分析法

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  • 相似三角形的判定及有关性质
  • 综合法与分析法

相似三角形的定义:

对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。


预备定理:

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似

判定定理1:

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。

判定定理2:

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

判定定理3:

对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。

引理:

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

直角三角形相似定理:

(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。
(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。


相似三角形的性质 :

(1)相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比;
(2)相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形对应角相等,对应边成比例;
(4)相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆或内切圆的面积等于相似比的平方。


相似三角形的判定方法 :

由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法:
(1)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;
(2)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;
(3)如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似。


综合法:

一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。
图解:
 

分析法:

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。
图解:


分析法的思维特点:

执果索因;分析法的书写格式:要证明命题B为真,只需要证明命题为真,从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有…… 这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故命题B必为真。
分析法与综合法综合:
 

综合法的思维方法:

综合法的思维方向是”,即由已知条件出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的结论成立,故综合法又叫顺推证法或由因导果法.综合法的依据:已知条件以及逻辑推理的基本理论,在推理时要注意:作为依据和出发点的命题一定要正确.

分析法的思维方向:

分析法的思维方向是”,即由待证的结论出发,逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的命题,故分析法又叫逆推证法或执果索因法.

用分析法证明的模式:

用分析法证:为了证明命题B为真,这只需证明命题B,为真,从而有……这只需证明命题B:为真,从而有……这只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.可见分析法是”,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方法。
特别提醒:当命题不知从何人手时,有时可以运用分析法来解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效.用分析法证明时,往往在最后加上一句步可逆,这无形中就出现了两个问题:①分析法证明过程的每一步不一定”,也没有必要要求”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件;②如果非要”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只适用于证明等价命题了,但是,只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构,明确四种命题之间的关系,那么用分析法证明不等式还是比较方便的。