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高中三年级数学

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    已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点,
    (1)若从P到圆O的切线长为2,求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长;
    (2)若点A(-2,0),B(2,0),直线PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N,求证:直线MN经过定点(1,0)。
    本题信息:2011年北京期末题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点,(1)若从P到圆O的切线长为2,求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若点A(-2,0),B(2,0),直线PA、PB与圆O的另...” 主要考查您对

直线与圆的位置关系

圆的切线的性质及判定定理

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  • 圆的切线的性质及判定定理

直线与圆的位置关系

由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
其图像如下:


直线和圆的位置关系的性质:

(1)直线l和⊙O相交d<r
(2)直线l和⊙O相切d=r;
(3)直线l和⊙O相离d>r。


直线与圆位置关系的判定方法:

(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由
 
推出mx2+nx+p=0,利用判别式△进行判断.
△>0则直线与圆相交;
△=0则直线与圆相切;
△<0则直线与圆相离.
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆,圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交;
d=r则直线和圆相切;
d>r则直线和圆相离.
特别提醒:
(1)上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷,而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.
(2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.

直线与圆位置关系的判定方法列表如下:

直线与圆相交的弦长公式:

(1)几何法:如图所示,直线l与圆C相交于A、B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|=

(2)代数法:直线l与圆交于直线l的斜率为k,则有
当直线AB的倾斜角为直角,即斜率不存在时,|AB|=


 圆的相切的定义:

直线和圆只有一个公共点,即圆心到直线的距离等于半径,这条直线叫圆的切线。


切线的性质定理:

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1:

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;

推论2:

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。


直线与圆的位置关系:

相离:直线和圆没有公共点,即圆心到直线的距离大于半径;
相交:直线和圆有两个公共点,即圆心到直线的距离小于半径,这条直线叫圆的割线;
相切:直线和圆只有一个公共点,即圆心到直线的距离等于半径,这条直线叫圆的切线。