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高中一年级数学

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    已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.
    (1)试求圆C的方程.
    (2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点,满足,求直线l的方程。
    本题信息:2012年浙江省期末题数学解答题难度较难 来源:狄雪兰(高中数学)
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本试题 “已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.(1)试求圆C的方程.(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点,满足,求直线l的方程。” 主要考查您对

简单线性规划问题(用平面区域表示二元一次不等式组)

直线的方程

圆的标准方程与一般方程

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  • 简单线性规划问题(用平面区域表示二元一次不等式组)
  • 直线的方程
  • 圆的标准方程与一般方程

二元一次不等式表示的平面区域:

二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。

线性约束条件:

关于x,y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x,y的线性约束条件;

线性目标函数:

关于x、y的一次式欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做线性目标函数;

线性规划问题

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。

可行解、可行域和最优解:

满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解;由所有可行解组成的集合称为可行域; 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。

用一元一次不等式(组)表示平面区域:

(1)一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c的值的正负,即可判断不等式表示的平面区域,可简称为,特殊点定域”.
(2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 


线性规划问题求解步骤:

(1)确定目标函数;
(2)作可行域;
(3)作基准线(z=0时的直线);
(4)平移找最优解;
(5)求最值。

线性规划求最值线性规划求最值问题:
(1)要充分理解目标函数的几何意义,诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.
   (2)求最优解的方法①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的点为最优解,②利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线,且目标函数的斜率k满足的交点一般为最优解.在求最优解前,令z=0的目的是确定目标函数在可行域的什么位置有可行解,值得注意的是,有些问题中可能要求x,y∈N(即整点),它不一定在边界上.特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行()时,其最优解可能有无数个,用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目的量分类,列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组),寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数.

线性规划的实际应用在线性规划的实际问题中:

主要掌握两种类型:
一、给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;
二、给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.
(l)用图解法解决线性规划问题的一般步骤:①分析并将已知数据列出表格;②确定线性约束条件;③确定线性目标函数;④画出可行域;⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解;⑥实际问题需要整数解时,应适当调整,以确定最优解.
(2)整数规划的求解,可以首先放松可行解必须为整数的要求,转化为线性规划求解,若所求得的最优解恰为整数,则该解即为整数规划的最优解;若所求得的最优解不是整数,则视所得非整数解的具体情况增加条件;若这两个子问题的最优解仍不是整数,再把每个问题继续分成两个子问题求解,……,直到求出整数最优解为止,


直线方程的定义:

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。

基本的思想和方法:

求直线方程是解析几何常见的问题之一,恰当选择方程的形式是每一步,然后釆用待定系数法确定方程,在求直线方程时,要注意斜率是否存在,利用截距式时,不能忽视截距为0的情形,同时要区分“截距”和“距离”。

直线方程的几种形式:

1.点斜式方程:
(1),(直线l过点,且斜率为k)。
(2)当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1
2.斜截式方程:已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线的方程为:y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线。
3.两点式方程:已知直线经过(x1,y1),(x2,y2)两点,则直线方程为:
4.截距式方程:已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为:(a、b≠0)。
5.一般式方程:(1)定义:任何直线均可写成:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。(2)特殊的方程如:平行于x轴的直线:y=b(b为常数);平行于y轴的直线:x=a(a为常数)。


几种特殊位置的直线方程:

 
求直线方程的一般方法:
 
(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程.应明确直线方程的几种形式及各自的特点,合理选择解决方法,一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知在两坐标轴上的截距用截距式;已知两点用两点式,这时应特别注意斜率不存在的情况.
(2)待定系数法:先设出直线的方程,再根据已知条件求出假设系数,最后代入直线方程,待定系数法常适用于斜截式,已知两点坐标等.
利用待定系数法求直线方程的步骤:①设方程;②求系数;③代入方程得直线方程,如果已知直线过一个定点,可以利用直线的点斜式求方程,也可以利用斜截式、截距式等形式求解.

圆的定义:

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。

圆的标准方程:

圆的标准方程,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为

圆的一般方程:

圆的一般方程
>0时,表示圆心在,半径为的圆;
=0时,表示点
<0时,不表示任何图形。


圆的定义的理解:

(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.

圆的方程的理解:

(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.


几种特殊位置的圆的方程:

条件 标准方程 一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点