返回

高中三年级数学

首页
  • 解答题
    已知椭圆Γ的方程为(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和 Q(a,0)为Γ的三个顶点。
    (1)若点M满足,求点M的坐标;
    (2)设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C,D两点,交直线l2:y=k2x于点E,若,证明:E为CD的中点;
    (3)设点P在椭圆Γ内且不在x轴上,如何作过PQ中点F的直线l,使得l与椭圆Γ的两个交点P1,P2满足?令a=10,b=5,点P的坐标是(-8,-1)。若椭圆Γ上的点P1,P2满足,求点P1,P2的坐标。
    本题信息:2011年专项题数学解答题难度极难 来源:刘佩
  • 本题答案
    查看答案
本试题 “已知椭圆Γ的方程为(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和 Q(a,0)为Γ的三个顶点。(1)若点M满足,求点M的坐标;(2)设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C,D两点,...” 主要考查您对

向量共线的充要条件及坐标表示

直线的倾斜角与斜率

两条直线的交点坐标

直线与椭圆方程的应用

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 向量共线的充要条件及坐标表示
  • 直线的倾斜角与斜率
  • 两条直线的交点坐标
  • 直线与椭圆方程的应用

向量共线的充要条件:

向量共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得

向量共线的几何表示:

,其中,当且仅当时,向量共线。


向量共线(平行)基本定理的理解:

(1)对于向量aa≠0),b,如果有一个实数λ,使得ba,那么由向量数乘的定义知,ab共线.
(2)反过来,已知向量ab共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当ab同方向时,有b=μa;当ab反方向时,有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括重合.
(4)判断a(a≠0)b是否共线时,关键是寻找a前面的系数,如果系数有且只有一个,说明共线;如果找不到满足条件的系数,则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0,则数λ仍然存在,且此时λ并不唯一,是任意数值.


直线的倾斜角的定义:

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

直线的斜率的定义:

倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。


直线斜率的性质:

时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。


直线倾斜角的理解:

(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;

(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。

直线倾斜角的意义:

①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。

直线斜率的理解:

每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。


两条直线的交点:

两直线:,当它们相交时,方程组有唯一的解,以这个解为坐标的点就是两直线的交点。
若方程组无解,两直线平行;若方程组有无数个解,则两直线重合。


两条直线的交点特别提醒:

①若方程组无解,则直线平行;反之,亦成立;
②若方程组有无穷多解,则直线重合;反之,也成立;
③当有交点时,方程组的解就是交点坐标;
相交的条件是


直线与椭圆的方程:

设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),椭圆(a>b>0),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。


椭圆的焦半径、焦点弦和通径:

(1)焦半径公式:
①焦点在x轴上时:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0
②焦点在y轴上时:|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0;
(2)焦点弦:
过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦.设过椭圆的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2a+e(x1+x2).由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.
(3)通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,其长为 

椭圆中焦点三角形的解法:

椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理,解题中,通过变形,使之出现,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,打开解题思路,整体代换求是这类问题中的常用技巧。


关于椭圆的几个重要结论:

(1)弦长公式:

(2)焦点三角形:
上异于长轴端点的点,
(3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
(4)椭圆的切线:处的切线方程为


(5)对于椭圆,我们有
 
 

发现相似题
与“已知椭圆Γ的方程为(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和 Q(a...”考查相似的试题有: