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高中三年级数学

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    在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为(,0),e1=(2,1)、e2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P,若
    则a、b满足的一个等式是(    )。
    本题信息:2010年上海高考真题数学填空题难度一般 来源:刘佩
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本试题 “在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为(,0),e1=(2,1)、e2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P,若,则...” 主要考查您对

向量数乘运算及几何意义

双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

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  • 向量数乘运算及几何意义
  • 双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

向量的数乘的定义:

我们规定实数λ与向量的积是一个向量,记作λ

向量的数乘的长度和方向规定如下:

(1)
(2)当λ>0时,λ的方向与的方向相同;当λ<0时,λ的方向与的方向相反;当λ=0时,;注意:λ≠0

数乘运算的坐标表示:

,则


实数与向量积的运算律:

(1)
(2)
(3)


向量数乘运算的理解:

①向量数乘运算结果仍然是向量.
②实数与向量的积的特殊情况:
 
③实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如无意义。
④由向量数乘的概念可知其几何意义,可以把向量a的长度扩大(当时),也可以缩小(当时),同时,我们可以不改变向量a的方向,也可以改变向量a的方向(当λ<0时)。

 

双曲线的离心率的定义:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.
(2)e的范围:e>l.
(3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.

渐近线与实轴的夹角也增大。


双曲线的性质:

1、焦点在x轴上:顶点:(a,0),(-a,0);焦点:(c,0),(-c,0);
渐近线方程:
2、焦点在y轴上:顶点:(0,-a),(0,a);焦点:(0,c),(0,-c);
渐近线方程:
3、轴:x、y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c。
4、离心率
5、中,取值范围:x≤-a或x≥a,y∈R,对称轴是坐标轴,对称中心是原点。


双曲线的焦半径:

双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径,分别记作


 
 
 
关于双曲线的几个重要结论:
 
(1)弦长公式(与椭圆弦长公式相同).
(2)焦点三角形:已知的两个焦点,P为双曲线上一点(异于顶点),
的面积为
在解决与焦点三角形有关的问题时,应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用,还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题.
(3)基础三角形:如图所示,△AOB中,
 
(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.
(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.
(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切.
(7)双曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程是
(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有:P(x0,y0)在双曲线内部(与焦点共区域) P(x0,y0)在双曲线外部(与焦点不其区域)