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高中二年级数学

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    如图,点P是正方形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AB,E、F分别是BC、PD的中点。

    (1)求证:BD⊥PC;
    (2)求证:EF∥平面PAB。
    本题信息:2010年河北省期末题数学证明题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “如图,点P是正方形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AB,E、F分别是BC、PD的中点。(1)求证:BD⊥PC;(2)求证:EF∥平面PAB。” 主要考查您对

直线与平面平行的判定与性质

三垂线定理及其逆定理

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  • 直线与平面平行的判定与性质
  • 三垂线定理及其逆定理

线面平行的定义:

若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行。

图形表示如下:

线面平行的判定定理:

平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行

符号语言:

 线面平行的性质定理:

如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行

 符号语言:


 


证明直线与平面平行的常用方法:

(l)反证法,即 
(2)判定定理法,即 
(3)面面平行的性质定理,即 
(4)向量法,平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直,则直线与平面平行,即


正射影的概念:

自一点向平面引垂线,垂足叫做这一点在平面内的正射影(简称为射影);

平面的斜线的概念:

如果一条直线和一个平面相交但不垂直,那么这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。


三垂线定理:

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理:

如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。


三垂线定理与其逆定理的关系:


即:

三垂线定定理的主要应用:

证明线线、线面垂直,求点到线的距离、二面角大小。

应用两个定理解题的一般思路: 


 


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