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高中三年级数学

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    设椭圆的左、右焦点分别是F1和F2,离心率e=,点F2到右准线l的距离为
    (Ⅰ)求a、b的值;
    (Ⅱ)设M、N是右准线l上两动点,满足,证明:当取最小值时,

    本题信息:2008年四川省高考真题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “设椭圆的左、右焦点分别是F1和F2,离心率e=,点F2到右准线l的距离为,(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)设M、N是右准线l上两动点,满足,证明:当取最小值时,。” 主要考查您对

向量的加、减法运算及几何意义

用坐标表示向量的数量积

椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

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  • 向量的加、减法运算及几何意义
  • 用坐标表示向量的数量积
  • 椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

向量加法的定义:

已知非零向量ab,在平面内任取一点A,作,再做向量,则向量叫做的和,即
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

向量加法的三角形法则:

已知非零向量a,b,在平面内任意取一点A,作a,

这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则,如图
 
 
向量加法的平行四边形法则:
 
以同一点O起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是ab的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则,如图.
  

向量减法的定义:

向量与向量的相反向量的和,叫做向量与向量的差,记作:
作向量减法有“三角形法则”:设,那么,由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意:此处减向量与被减向量的起点相同。

向量减法的作图法:

 
 
  
 因此,a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.

坐标运算:

已知,则


向量加减法的运算律:

(1)交换律:
(2)结合律:


求向量的和的三角形法则的理解:

使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量,仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。

作两个向量的和向量,可分四步:

①取点,注意取点的任意性;
②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;
③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;
④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.

向量的加法需要说明的几点:

①当两个非零向量ab不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
②当两个非零向量ab共线时,
a.向量ab同向(如下图),即向量a+ba(b)方向相同,且
 
b.向量ab反向(如上图)且|a|<|b|时,即a+bb方向相同(与a方向相反),且

综上可知

向量减法的理解:

①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法,其实,向量减法的实质是向量加法的逆运算.两个向量的差仍是向量;
②作差向量时,作法一较为复杂,作法二较为简捷,应根据问题的需要灵活运用;
③以为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的,应该加强理解并记住;
④对于任意一点O,简记为“中减起”,在解题中经常用到,必须记住.


两个向量的数量积的坐标运算:

非零向量,那么,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。


向量的数量积的推广1:

a=(x,y),则|a|=x2+y2 ,或|a|=

向量的数量积的推广2:

,则
 
向量的数量积的坐标表示的证明:
 
已知 ,则
 

 椭圆的离心率:

椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。


椭圆的性质:

1、顶点:A(a,0),B(-a,0),C(0,b)和D(0,-b)。
2、轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长|AB|=2a,短轴长|CD|=2b,a为长半轴长,b为短半轴长。
3、焦点:F1(-c,0),F2(c,0)。
4、焦距:
5、离心率: 
离心率对椭圆形状的影响:e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁;e越接近0,c就越接近0,从而b就越大,椭圆就越圆;
6、椭圆的范围和对称性:(a>b>0)中-a≤x≤a,-b≤y≤b,对称中心是原点,对称轴是坐标轴。


利用椭圆的几何性质解题:

利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程.要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a,b,c表示出来,例如焦点与各顶点所连线段的长,过焦点与长轴垂直的弦长等,这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法:

求最值有两种方法:
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理.此时应充分注意椭圆中x,y的范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义,寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系.

椭圆中离心率的求法:

在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a,b,c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a,b,c的关系式,从而求离心率或离心率的取值范围.


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