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高中二年级数学

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    设向量a= (3 ,5 ,-4 ),b=(2,1,8),计算2a+3b ,3a-2b ,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ、μ的值,使λa+ μb与z 轴垂直.
    本题信息:2012年同步题数学解答题难度较难 来源:刘建昰
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本试题 “设向量a= (3 ,5 ,-4 ),b=(2,1,8),计算2a+3b ,3a-2b ,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ、μ的值,使λa+ μb与z 轴垂直.” 主要考查您对

空间向量的线性运算及其坐标表示

空间向量的夹角及其表示

运用数量积判断空间向量的垂直

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  • 运用数量积判断空间向量的垂直

空间向量的线性运算的定义:

空间向量的线性运算是指空间向量的加、减、数乘的运算

坐标表示:

,任意的实数λ,m,n ,则


空间向量的线性运算的理解:

(1)空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算;
(2)注意向量的书写与代数式的书写的不同,我们书写向量的时候一定带上线头,这也是向量与字母的不同之处;
(3)虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算,但它们表示的意义不同。


两个非零向量夹角的概念:

已知两个非零向量,在空间中任取一点O,作,则∠AOB叫做向量的夹角,记作

空间向量夹角的坐标表示:


空间向量夹角的理解:

(1)规定:,当=0时,同向;当时,反向;当时,垂直,记
(2)两个向量的夹角唯一确定且
(3)对于一些特殊的几何体或平面图形中有关空间角的问题,可以通过建立空间直角坐标系将其转化为空间向量的夹角的问题,简化计算。值得注意的是空间直角坐标系的建立要合理、适当。


利用数量积判断空间向量的垂直:

·=0  

利用数量积判断空间向量的垂直用坐标表示:

,则


利用数量积判断空间向量的垂直问题一般有两类:

一类是已知条件中给出垂直,让求参数或其它向量的关系,这时我们就利用向量垂直的充要条件数量积等于零,得到关系式;
一类是让判断或求证垂直的问题,那么我们就想方设法去求数量积,求得数量积为零。