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高中三年级数学

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    设函数f(x)=(x+a)lnx-x+a,
    (Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的单调区间;
    (Ⅱ)已知a>0,0<x<a,使得a+xlnx>0,试研究a>0时函数y=f(x)的零点个数。
    本题信息:2012年0113期中题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “设函数f(x)=(x+a)lnx-x+a,(Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的单调区间;(Ⅱ)已知a>0,0<x<a,使得a+xlnx>0,试研究a>0时函数y=f(x)的零点个...” 主要考查您对

函数零点的判定定理

函数的单调性与导数的关系

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  • 函数零点的判定定理
  • 函数的单调性与导数的关系

函数零点存在性定理:

一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<o,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
 (3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.


函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.


导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。