本试题 “下列命题正确的是( )A.单位向量都相等B.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线C.若|a+b|=|a-b|,则a·b=0D.若a与b都是单位向量,则a·b=1” 主要考查您对零向量与单位向量
向量共线的充要条件及坐标表示
向量数量积的运算
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零向量的定义:
长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的。
单位向量的定义:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量,常用表示。
零向量和单位向量的理解:
(1)注意零向量与数零的含义与书写的区别,零向量是一个向量所以零向量是有方向的并且规定零向量的方向是任意的;
(2)零向量和单位向量的定义都只是限制了大小;
(3)所有的单位向量都是相等向量是一种错误的说法,因为它们的方向可能不同;所有单位向量的模都相等是一种正确的说法,并且它们的模都等于1.
向量共线的充要条件:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得。
向量共线的几何表示:
设,其中,当且仅当时,向量共线。
向量共线(平行)基本定理的理解:
(1)对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使得b=λa,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.
(2)反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括重合.
(4)判断a(a≠0)与b是否共线时,关键是寻找a前面的系数,如果系数有且只有一个,说明共线;如果找不到满足条件的系数,则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0,则数λ仍然存在,且此时λ并不唯一,是任意数值.
两个向量数量积的含义:
如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即。
叫在上的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
数量积的的运算律:
已知向量和实数λ,下面(1)(2)(3)分别叫做交换律,数乘结合律,分配律。
(1);
(2);
(3)。
向量数量积的性质:
设两个非零向量
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)当,同向时,;当与反向时,;当为锐角时,为正且,不同向,;当为钝角时,为负且,不反向,。
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