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高中三年级数学

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    已知以原点O为中心,F(,0)为右焦点的双曲线C的离心率

    (1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
    (2)如图,已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与过点N(x2,y2)(其中x2≠x1)的直线l2:x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G,H两点,求的值。
    本题信息:2011年专项题数学解答题难度极难 来源:刘佩
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本试题 “已知以原点O为中心,F(,0)为右焦点的双曲线C的离心率。(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;(2)如图,已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与...” 主要考查您对

用坐标表示向量的数量积

两条直线的交点坐标

双曲线的标准方程及图象

双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

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  • 用坐标表示向量的数量积
  • 两条直线的交点坐标
  • 双曲线的标准方程及图象
  • 双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

两个向量的数量积的坐标运算:

非零向量,那么,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。


向量的数量积的推广1:

a=(x,y),则|a|=x2+y2 ,或|a|=

向量的数量积的推广2:

,则
 
向量的数量积的坐标表示的证明:
 
已知 ,则
 

两条直线的交点:

两直线:,当它们相交时,方程组有唯一的解,以这个解为坐标的点就是两直线的交点。
若方程组无解,两直线平行;若方程组有无数个解,则两直线重合。


两条直线的交点特别提醒:

①若方程组无解,则直线平行;反之,亦成立;
②若方程组有无穷多解,则直线重合;反之,也成立;
③当有交点时,方程组的解就是交点坐标;
相交的条件是


双曲线的标准方程:

(1)中心在原点,焦点在x轴上:
(2)中心在原点,焦点在y轴上:
双曲线的图像:

(1)焦点在x轴上的双曲线的图像

(2)焦点在y轴上的双曲线的图像


判断双曲线的焦点在哪个轴上:

判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

定义法求双曲线的标准方程:

求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,

待定系数法求双曲线的标准方程:

在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.

利用双曲线的性质求解有关问题:

要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即


几种特殊的双曲线:

等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直
共轭双曲线
共渐近线的双曲线

双曲线的离心率的定义:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.
(2)e的范围:e>l.
(3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.

渐近线与实轴的夹角也增大。


双曲线的性质:

1、焦点在x轴上:顶点:(a,0),(-a,0);焦点:(c,0),(-c,0);
渐近线方程:
2、焦点在y轴上:顶点:(0,-a),(0,a);焦点:(0,c),(0,-c);
渐近线方程:
3、轴:x、y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c。
4、离心率
5、中,取值范围:x≤-a或x≥a,y∈R,对称轴是坐标轴,对称中心是原点。


双曲线的焦半径:

双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径,分别记作


 
 
 
关于双曲线的几个重要结论:
 
(1)弦长公式(与椭圆弦长公式相同).
(2)焦点三角形:已知的两个焦点,P为双曲线上一点(异于顶点),
的面积为
在解决与焦点三角形有关的问题时,应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用,还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题.
(3)基础三角形:如图所示,△AOB中,
 
(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.
(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.
(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切.
(7)双曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程是
(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有:P(x0,y0)在双曲线内部(与焦点共区域) P(x0,y0)在双曲线外部(与焦点不其区域)