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高中三年级数学

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    设对于任意的实数x,y,函数满足, 且f(0)=3,g(x+y)=g(x)+
    2y,g(5)=13,n∈N*。
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn
    (Ⅲ)设F(n)=Sn-3n,存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式m<F(n)<M恒成立,求M-m的最小值。


    本题信息:2010年0103模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “设对于任意的实数x,y,函数,满足, 且f(0)=3,g(x+y)=g(x)+2y,g(5)=13,n∈N*。(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn;(Ⅲ)设F(...” 主要考查您对

等差数列的通项公式

等比数列的通项公式

数列的极限

数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)

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  • 等差数列的通项公式
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  • 数列的极限
  • 数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)

等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d,n∈N*。
an=dn+a1-d,d≠0时,是关于n的一次函数,斜率为公差d;
an=kn+b(k≠){an}为等差数列,反之不能。


对等差数列的通项公式的理解:

 ①从方程的观点来看,等差数列的通项公式中含有四个量,只要已知其中三个,即可求出另外一个.其中a1和d是基本量,只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项;
②从函数的观点来看,在等差数列的通项公式中,。。是n的一次函数,其图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀排开的一列孤立点,我们知道两点确定一条直线,因此,给出一个等差数列的任意两项,等差数列就被唯一确定了,


等差数列公式的推导:

等差数列的通项公式可由归纳得出,当然,等差数列的通项公式也可用累加法得到:


等比数列的通项公式:

an=a1qn-1,q≠0,n∈N*


等比数列的通项公式的理解:

①在已知a1和q的前提下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项;
②在已知等比数列中任意两项的前提下,使用可求等比数列中任何一项;
③用函数的观点看等比数列的通项,等比数列{an}的通项公式,可以改写为.当q>o,且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点;
④通项公式亦可用以下方法推导出来:

将以上(n一1)个等式相乘,便可得到
 
⑤用方程的观点看通项公式.在an,q,a1,n中,知三求一。


数列的极限定义(描述性的):

如果当项数n无限增大时,无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a(即无限地接近于0),a叫数列的极限,记作,也可记做当n→+∞时,an→a。

数列的极限严格定义

即ε-N定义:对于任何正数ε(不论它多么小),总存在某正数N,使得当n>N时,一切an都满足,a叫数列的极限。

数列极限的四则运算法则:

,则
(1)
(2)
(3)
前提条件:(1)各数列均有极限,(2)相加减时必须是有限个数列才能用法则。


an无限接近于a的方式有三种:

第一种是递增的数列,an无限接近于a,即an是在常数a的左边无限地趋近于a,如n→+∞时,
第二种是递减数列,an无限地趋近于a,即an是在常数a的右边无限地趋近于a,如n→+∞时,是
第三种是摆动数列,an无限地趋近于a,即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a,如n→+∞时,


一些常用数列的极限:

(1)常数列A,A,A,…的极限是A;
(2)当时,
(3)当|q|<1时,;当q>1时,不存在;
(4)不存在,
(5)无穷等比数列{an}中,首项a1,公比q,前n项和Sn,各项之和S,则(只有在0<|q|<1时)。


数列求和的常用方法:

1.裂项相加法:数列中的项形如的形式,可以把表示为,累加时抵消中间的许多项,从而求得数列的和;
2、错位相减法:源于等比数列前n项和公式的推导,对于形如的数列,其中为等差数列,为等比数列,均可用此法;
3、倒序相加法:此方法源于等差数列前n项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和。
4、分组转化法:把数列的每一项分成两项,或把数列的项“集”在一块重新组合,或把整个数列分成两个部分,使其转化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可采用公式求和,常用的公式有:
 
数列求和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。


数列求和特别提醒:

(1)对通项公式含有的一类数列,在求时,要注意讨论n的奇偶性;
(2)在用等比数列前n项和公式时,一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。