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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等比数列的定义及性质 递增数列和递减数列 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 指数、对数不等式 试题正文
  • 解答题
    已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=，
    （1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和T3；
    （2）（理）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由；
    （文）若数列满足cn=a2n，p=，求证：{cn}是为等比数列；
    （3）当p=时，对任意n∈N*，不等式S2n+1≤都成立，求x的取值范围。
    本题信息：2012年上海月考题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=，（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和T3；（2）（理）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{...” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

递增数列和递减数列

数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

指数、对数不等式

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  • 等比数列的定义及性质
  • 递增数列和递减数列
  • 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
  • 指数、对数不等式

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


递增数列的定义：

一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义：

如果从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列：

递增数列和递减数列通称为单调数列. 


数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an+1的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。


数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。


数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。

 

指数、对数不等式：

当a＞1时，
；

2、当0＜a＜1时，
；
。


指数对数不等式的解法：

 

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