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初中三年级数学

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    如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF是矩形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(    )。(请保留画图痕迹)


    本题信息:2007年江西省中考真题数学填空题难度一般 来源:刘佩
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本试题 “如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF是矩形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线( )。(请保留画图痕迹)” 主要考查您对

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

矩形,矩形的性质,矩形的判定

角平分线的性质

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  • 角平分线的性质
定义:
有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)


等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。


矩形:
是一种平面图形,矩形的四个角都是直角,同时矩形的对角线相等,而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形


矩形的判定
①定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积:S矩形=长×宽=ab。
黄金矩形:
宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知,三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角,所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。


角平方线定理:
①角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
②角平分线能得到相同的两个角,都等于该角的一半。
③三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
④三角形的三个角的角平分线相交于一点,这个点称为内心 ,即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
逆定理:
在角的内部,到角两边的距离相等的点在角平分线上。


角平分线作法:
在角AOB中,画角平分线

方法一:
1.以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角AOB两边于点M,N。
2.分别以点M,N为圆心,以大于1/2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然,角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二:
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB,且使得OM=ON,OA=OB;
2.连接AN与BM,他们相交于点P;
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
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