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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 等比数列的定义及性质 等比数列的通项公式 数学归纳法证明不等式 试题正文
  • 解答题
    已知数列{an}满足：a1=3，，n∈N*，记。
    (I)求证：数列{bn}是等比数列；
    (Ⅱ)若an≤t·4n对任意n∈N*恒成立，求t的取值范围；
    (Ⅲ)记，求证：C1·C2·…· Cn＞。
    本题信息：2011年0112模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知数列{an}满足：a1=3，，n∈N*，记。(I)求证：数列{bn}是等比数列；(Ⅱ)若an≤t·4n对任意n∈N*恒成立，求t的取值范围；(Ⅲ)记，求证：C1·C2·…· Cn＞。” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

等比数列的通项公式

数学归纳法证明不等式

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  • 等比数列的定义及性质
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等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


等比数列的通项公式:

an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。


等比数列的通项公式的理解：

①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q>o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；
④通项公式亦可用以下方法推导出来：

将以上（n一1）个等式相乘，便可得到
 
⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。


归纳法的定义：

由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。


数学归纳法证明不等式的步骤：

（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立；
（2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。

对数学归纳法的理解：

（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。
（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．


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