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初中二年级数学

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    如图①,一群小孩以同样的速度同时从A村出发到B村要过一条公路a,其中只有一小孩用最快的时间到达B村,你知道这个聪明的小孩的行程路线吗?在图上标出示意图;
    如图②,在公路a的同侧有A,B两村庄,要在公路上建立一个站点,使到A,B两村的距离相等,请标出站点位置;
    如图③,A,B,C三个村庄合建一所学校P,经协商应建在到三个村庄距离都相等的位置上,请帮村里标出学校P的位置。(只画图,不写画法不证明)

    本题信息:2011年同步题数学操作题难度较难 来源:邵英娜
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本试题 “如图①,一群小孩以同样的速度同时从A村出发到B村要过一条公路a,其中只有一小孩用最快的时间到达B村,你知道这个聪明的小孩的行程路线吗?在图上标出示意图;...” 主要考查您对

轴对称

垂直平分线的性质

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 轴对称
  • 垂直平分线的性质
轴对称的定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的,对应点到对称轴的距离都是相等的。

轴对称的性质:
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
(2)对应线段相等,对应角相等;
(3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。


轴对称的判定:
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
这样就得到了以下性质:
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用:
可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用:
关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
如果在坐标系中,点A与点B关于直线X对称,那么点A的横坐标不变,纵坐标为相反数。
相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

在几何证题、解题时,如果是轴对称图形,则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
譬如,等腰三角形经常添设顶角平分线;
矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;
正方形,菱形问题经常添设对角线等等。
另外,如果遇到的图形不是轴对称图形,则常选择某直线为对称轴,补添为轴对称图形,
或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧,以实现条件的相对集中。


垂直平分线的概念:
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
如图:直线MN即为线段AB的垂直平分线。

垂直平分线的性质:
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相 等。
(此时以外心为圆心,外心到顶点的长度为半径,所作的圆为此三角形的外接圆。)

判定:
①利用定义;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)

尺规作法:(用圆规作图)
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
3、连接这两个交点。
原理:等腰三角形的高垂直平分底边。


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