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高中三年级数学

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    已知数列{ak}满足:(k=1,2,…,n﹣1)其中n是一个给定的正整数.
    (1)证明:数列{ak}是一个单调数列;
    (2)证明:对一切1<m<n,m∈N有:
    本题信息:2012年北京期中题数学解答题难度极难 来源:沈诺(高中数学)
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本试题 “已知数列{ak}满足:且(k=1,2,…,n﹣1)其中n是一个给定的正整数.(1)证明:数列{ak}是一个单调数列;(2)证明:对一切1<m<n,m∈N有:.” 主要考查您对

递增数列和递减数列

比较法

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  • 递增数列和递减数列
  • 比较法

递增数列的定义:

一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义:

如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列:

递增数列和递减数列通称为单调数列. 


数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。


比较法分类:

(1)求差比较法:要证a>b,只要证a-b>0;
(2)求商比较法:要证a>b,且b>0,只要证>1;


比较法的步骤是:

作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。

实数比较大小的依据:

在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a、b之间具有以下性质:如图,如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b是负数,那么a<b;如果a-b等于零,那么a=b,反之也成立,从而a-b>0等价于a>b;a-b=0等价于a=b;a-b<0等价于a<b. 

比较数(式)的大小常用的方法:

(1)一是利用作差法来判断差的符号;二是利用作商法(分母为正时)来判断商与1的大小。这两种方法的关键是变形,常用的变形的技巧有因式分解、通分、配方、有理化等,当两个代数式正负不确定且为多项式形式时常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且为幂的乘积式时常用作商法比较大小.
(2)比较大小时应熟记并应用“若a>b且ab>0则”这一结论,不能强化也不能弱化条件,在此时应引起特别重视。


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