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高中一年级数学

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    有下列四个结论:
    ①函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞);
    ②若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数;
    ③函数y=5|x|的值域是(0,+∞);
    ④函数f(x)=x+2x在(-1,0)有且只有一个零点;其中正确结论的个数为
    [     ]

    A.1
    B.2
    C.3
    D.4
    本题信息:2011年同步题数学单选题难度一般 来源:张玲玲
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本试题 “有下列四个结论:①函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞);②若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数;③函数y=5|x|的值域是(0,+∞);④函数f...” 主要考查您对

指数函数的解析式及定义(定义域、值域)

对数函数的解析式及定义(定义域、值域)

幂函数

函数零点的判定定理

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指数函数的定义

一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R,值域是(0,+∞)。

指数函数的解析式

y=ax(a>0,且a≠1)


 理解指数函数定义,需注意的几个问题

①因为a>0,x是任意一个实数时,ax是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.
②规定底数a大于零且不等于1的理由:

如果a<0,比如y=(-4)x,这时对于在实数范围内函数值不存在.
如果a=1,y=1x=1是一个常量,对它就没有研究的必要,
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.
③像等函数都不是指数函数,要注意区分。


对数函数的定义:

一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R。

对数函数的解析式:

y=logax(a>0,且a≠1)


在解有关对数函数的解析式时注意

在涉及到对数函数时,一定要注意定义域,即满足真数大于零;求值域时,还要考虑底数的取值范围。


冥函数的定义

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。

幂函数的解析式:

y=xα

幂函数的图像:

 

 


 幂函数图像的性质:

所有幂函数在(0,+∞)上都有定义.
①α>0,图像都过定点(0,0)和(1,1);在区间(0,+∞)上单调递增; 
②α<0,图像都过定点(1,1);在区间(0,+∞)上单调递减;
③当O<a<l时,曲线上凸,当a>l时,曲线下凸.
④当a=l时,图象为过点(0,0)和(1,1)的直线.
⑤当a=0时,表示过点(1,1)且平行于x轴的直线(除去点(0,1)) 。

幂函数图象的其他性质:

(1)图象的对称性:
把幂函数的幂指数a(只讨论a是有理数的情况)表示成既约分数的形式(整数看作是分母1的分数),则不论a>0还是a<0,幂函数的图象的对称性用口诀记为:“子奇母偶孤单单;母奇子偶分两边;分子分母均为奇,原点对称莫忘记”,
 (2)图象的形状:
 ①若a>0,则幂函数的图象为抛物线形,当a>l时,图象在[0,+∞)上是向下凸的(称为凸函数);当O<a<l时,图象在[o,+∞)上是向上凸的(称为凹函数).
 ②若a<0,则幂函数y=x“的图象是双曲线形,图象与x轴、y轴无限接近,在(0,+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性:
对于幂函数(a∈R).
(1)单调性
当a>0时,函数在第一象限内是增函数;当a<0时,函数在第一象限内是减函数.
(2)奇偶性
①当a为整数时,
若a为偶数,则是偶函数;若a为奇数,则是奇函数。
②当n为分数,即(p,q互素,p,q∈Z)时,若分母q为奇数,则分子p为奇数时,为奇函数;分子p为偶数时,为偶函数, 若分母q为偶数,则为非奇非偶函数.




函数零点存在性定理:

一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<o,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.
 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
 (3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.


函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.