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高中二年级数学

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首页 高中二年级数学知识 直线的方程 两条直线的交点坐标 点关于直线的对称点的坐标 试题正文
  • 解答题
    直线l：y=2x是三角形中∠C的平分线所在直线，若点A（﹣4，2），B（3，1）．
    （1）求点A关于直线l的对称点D的坐标；
    （2）求点C的坐标；
    （3）求三角形ABC的高CE所在的直线方程．
    本题信息：2012年江苏期中题数学解答题难度较难 来源:沈诺（高中数学）
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本试题 “直线l：y=2x是三角形中∠C的平分线所在直线，若点A（﹣4，2），B（3，1）．（1）求点A关于直线l的对称点D的坐标；（2）求点C的坐标；（3）求三角形ABC的高CE所...” 主要考查您对

直线的方程

两条直线的交点坐标

点关于直线的对称点的坐标

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直线方程的定义：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

基本的思想和方法：

求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。

直线方程的几种形式：

1.点斜式方程：
（1），（直线l过点，且斜率为k）。
（2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
2.斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。
3.两点式方程：已知直线经过（x1，y1），（x2，y2）两点，则直线方程为：
4.截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。
5.一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。


几种特殊位置的直线方程：

 
求直线方程的一般方法:
 
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．
(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点,可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．

两条直线的交点：

两直线：，，当它们相交时，方程组有唯一的解，以这个解为坐标的点就是两直线的交点。
若方程组无解，两直线平行；若方程组有无数个解，则两直线重合。


两条直线的交点特别提醒：

①若方程组无解，则直线平行；反之，亦成立；
②若方程组有无穷多解，则直线重合；反之，也成立；
③当有交点时，方程组的解就是交点坐标；
④相交的条件是


对称问题:

(l)点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．
设,对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为
(2)点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：
设点关于直线y=kx+b的对称点为,则有
特殊地，点关于直线x=a的对称点为;点关于直线y=b的对称点为
 (3)曲线关于点的中心对称、曲线关于直线的轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点）．一般结论如下：
①曲线f(x，y)=0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a-x，2b-y)=0．
②曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：
设曲线f(x，y）=0上任意一点为，P点关于直线y=kx+b的对称点为P′(x，y)，则由(2)知，P
利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y）=0关于直线y=kx+b对称的曲线方程。


几种特殊位置的对称：

 
对称问题需要注意：
 
（1）点A（x0,y0）关于直线x+y+c=0对称点A′的坐标为（-y0-c,-x0-c）,关于直线x-y+c=0对称点A′′的坐标为（y0-c,x0+c）。
（2）曲线f(x，y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线的方程为f（-y-c，-x-c）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线的方程为f(y-c，x+c)=0．
以上这种方法用来解填空题、选择题特别有效，应加以理解与记忆，其规律是当对称轴所在直线方程斜率为1或一1时，将A（x0，y0）中的x0代入对称轴方程x的位置，解出的y是对称点的纵坐标，将A点纵坐标的y0代入对称轴方程y的位置，解出的x是对称点的横坐标．

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