本试题 “实践探索题:(1)拼一拼,画一画:请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下一个洞,这个洞恰好是一个小正方形.(2)用不同方法计算中...” 主要考查您对二元一次方程组的解法
完全平方公式
矩形,矩形的性质,矩形的判定
正方形,正方形的性质,正方形的判定
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
(1)公式中的a、b可以是单项式,也就可以是多项式。
(2)不能直接应用公式的,要善于转化变形,运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
结构特征:
1.左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;
2.左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;
左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);
3..公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
记忆口诀:首平方,尾平方,2倍首尾。
使用误解:
①漏下了一次项;
②混淆公式;
③运算结果中符号错误;
④变式应用难于掌握。
注意事项:
1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,a和b可是数,单项式,多项式。
3、不论是还是,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式的基本变形:
(一)、变符号
例:运用完全平方公式计算:
(1)(-4x+3y)2
(2)(-a-b)2
分析:本例改变了公式中a、b的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。
解答:
(1)16x2-24xy+9y2
(2)a2+2ab+b2
(二)、变项数:
例:计算:(3a+2b+c)2
分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2,直接套用公式计算。
解答:9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2
(三)、变结构
例:运用公式计算:
(1)(x+y)(2x+2y)
(2)(a+b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)2
(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)2
(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)2
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
正方形的性质:
1、边:两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直
2、内角:四个角都是90°;
3、对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;
4、对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴);
5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质;
6、特殊性质:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;
7、在正方形里面画一个最大的圆,该圆的面积约是正方形面积的78.5%;
正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
8、正方形是特殊的长方形。
正方形的判定:
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:先证明它是平行四边形,再证明它是菱形(或矩形),最后证明它是矩形(或菱形)。
1:对角线相等的菱形是正方形。
2:有一个角为直角的菱形是正方形。
3:对角线互相垂直的矩形是正方形。
4:一组邻边相等的矩形是正方形。
5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7:对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
有关计算公式:
若S为正方形的面积,C为正方形的周长,a为正方形的边长,则
正方形面积计算公式:S =a×a(即a的2次方或a的平方),或S=对角线×对角线÷2;
正方形周长计算公式: C=4a 。
S正方形=。(正方形边长为a,对角线长为b)
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