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高中二年级数学

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    在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,使x,a,y 成等差数列,若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列。
    求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1)。
    本题信息:2011年同步题数学证明题难度较难 来源:叶新丽
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本试题 “在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,使x,a,y 成等差数列,若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列。求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1)。” 主要考查您对

等差中项

等比中项

综合法与分析法证明不等式

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等差中项:

若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b,即,反之,若,则a,A,b成等差数列。


等差数列中相邻三项之间存在如下关系:

(1) 反之,若数列中相邻三项之间存在如下关系:则该数列是等差数列,
(2) 若a,A,b成等差数列,那么 2A=a+b,A-a =b -A,a-A =A -b都是等价的.


等比中项:

若数a,G,b成等比数列,那么就称G为a与b的等比中项,从而有G2=ab或G=±


等比中项的理解:

如果a,G,b三个数成等比数列,则有G2=ab.反之不一定成立.由等比中项定义可知:
这表明,只有同号的两项才有等比中项,并且这两项有2个互为相反数的等比中项,当a>0,b>0时,G又叫做a,b的几何平均数。


综合法

利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立,这种证明方法叫综合法,即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。

分析法:

(1)从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立,这种证明方法叫分析法,即执果索因;
(2)用分析法证明要注意格式:“若A成立,则B成立”的模式是:欲证B为真,只需证C为真,只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理,从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCDA或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCDA。


用综合法分析法证明不等式常用到的结论:

 
 
                      3,