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高中三年级数学

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    已知点列An(xn,0)满足:=a-1,其中n∈N,又已知x0=-1,x1=1,a>1。
    (1)若xn=f(xn+1)(n∈N*),求f(x)的表达式;
    (2)已知点B(,0),记an=|BAn|(n∈N*),且an+1<an成立,试求a的取值范围;
    (3)设(2)中的数列{an}的前n项和为Sn,试求:
    本题信息:2011年0119模拟题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知点列An(xn,0)满足:=a-1,其中n∈N,又已知x0=-1,x1=1,a>1。(1)若xn=f(xn+1)(n∈N*),求f(x)的表达式;(2)已知点B(,0),记an=|BAn|(n∈N*),且an+1...” 主要考查您对

函数解析式的求解及其常用方法

递增数列和递减数列

反证法与放缩法

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  • 函数解析式的求解及其常用方法
  • 递增数列和递减数列
  • 反证法与放缩法

函数解析式的常用求解方法:

(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。


递增数列的定义:

一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义:

如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列:

递增数列和递减数列通称为单调数列. 


数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。


反证法的定义:

有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明,我们可以用间接的方法——反证法去证明,即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。

放缩法的定义:

把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式,比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正数)使不等式简化易证。


反证法证题的步骤:

若A成立,求证B成立。
共分三步:
(1)提出与结论相反的假设;如负数的反面是非负数,正数的反面是非正数即0和负数;
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错);
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.矛盾:与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。

放缩法的意义:

放缩法理论依据是不等式的传递性:若,a<b,b<c,则a<c.

放缩法的操作:

若求证P<Q,先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<Q.
需注意:(1)只有同方向才可以放缩,反方向不可。
(2)不能放(缩)得太大(小),否则不会有最后的Pn<Q.


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