反比例函数性质:
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限;
当k<0时,图象分别位于第二、四象限。
2.当k>0,在同一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大。
3.当k>0时,函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;
当k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
4.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交.
5. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2 ,且等于|k|.
6. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x ,y=-x,对称中心是坐标原点.
函数图象位置和函数值的增减:
反比例函数:,反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况,列表归纳如下:
根的判别式:一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b
2-4ac。
定理1 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△>0
方程有两个不等实数根;
定理2 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△=0
方程有两个相等实数根;
定理3 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△<0
方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根
△>0;
定理5 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根
△=0;
定理6 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根
△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b
2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b
2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b
2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用:①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。