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高中三年级数学

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    已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:
    ,n=2,3,4,…
    (Ⅰ)证明数列是常数数列;
    (Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;
    (Ⅲ)证明当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。
    本题信息:2007年湖南省高考真题数学解答题难度极难 来源:张玲玲
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本试题 “已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:,n=2,3,4,…(Ⅰ)证明数列是常数数列;(Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M...” 主要考查您对

函数的单调性与导数的关系

常数数列

递增数列和递减数列

直线的倾斜角与斜率

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  • 函数的单调性与导数的关系
  • 常数数列
  • 递增数列和递减数列
  • 直线的倾斜角与斜率

导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 


常数列的定义:

各项相等的数列叫做常数列。


构造常数数列巧求数列的通项公式:

非零常数列既是公比为1的等比数列也是公差为0的等差数列。在数列{an}中,若an+1=an,则数列{an}为常数列,其通项公式为an=a1。在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数列,便能简捷地求出通项公式。


递增数列的定义:

一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。

递减数列的定义:

如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

单调数列:

递增数列和递减数列通称为单调数列. 


数列的单调性:

1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。


直线的倾斜角的定义:

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

直线的斜率的定义:

倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。


直线斜率的性质:

时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。


直线倾斜角的理解:

(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;

(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。

直线倾斜角的意义:

①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。

直线斜率的理解:

每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。