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高中一年级数学

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    给出下列命题,错误命题的个数为
    ①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直,则它也和另一条垂直;
    ②空间四点A、B、C、D,若直线AB和直线CD是异面直线,那么直线AC和直线BD也是异面直线;
    ③空间四点若不在同一个平面内,则其中任意三点不在同一条直线上;
    ④若一条直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;

    [     ]


    A.0
    B.1
    C.2
    D.3
    本题信息:2012年0116月考题数学单选题难度一般 来源:张玲玲
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本试题 “给出下列命题,错误命题的个数为①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直,则它也和另一条垂直;②空间四点A、B、C、D,若直线AB和直线CD是异面直线,那么直线A...” 主要考查您对

平面的基本性质

空间中直线与直线的位置关系

直线与平面垂直的判定与性质

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 平面的基本性质
  • 空间中直线与直线的位置关系
  • 直线与平面垂直的判定与性质

平面的概念:

平面是无限伸展的;

平面的表示:

通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。

平面的画法:

①通常把水平的平面画成锐角为45。,横边长等于其邻边长2倍的平行四边形,如图1所示.②如果一个平面被另一个平面挡住,则被遮挡的部分用虚线画出来,如图2所示,


平面的性质:

(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1:
应用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。


立体几何问题的重要方法:

根据平面的基本性质,把空间图形转化为平面图形来解决,这是立体几何中解决问题的重要思想方法.通常要解决以下四类问题:
(l)证明空间三点共线问题:证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两个点在某两个平面上,再证明第三个点既在第一个平面内,又在第二个平面内,当然必在两平面的交线上.
(2)证明空间三线共点问题:证明这类问题一般根据公理l和公理3,把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线,然后证明两条直线的交点在此直线上.
(3)证明空间点共面问题:可根据公理2,先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内.
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论,先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证其余直线在这个平面内,或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面,再一一确定这些平面重合.

基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面,证明此类问题,常用的方法有:

①纳入法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内.
②同一法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的平面内,……,最后证明这些平面重合.
③反证法:可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.


点线面位置关系的符号语言如下表:


异面直线:

不同在任何一个平面内的两条直线。

空间中直线与直线的位置关系有且只有三种 :

异面直线的判定:

过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。
用符号语言可表示为:

异面直线的画法:
 

 


公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理:

空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。


异面直线的性质:

既不平行,又不相交;


证明线线平行的常用方法:

①利用定义,证两线共面且无公共点;
②利用公理4,证两线同时平行于第三条直线;
③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行,转化思想在立体几何中贯穿始终,转化的途径是把空间问题转化为平面问题;
④三角形的中位线;
⑤证两线是平行四边形的对边.


线面垂直的定义:

如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直,就说这条直线l和这个平面α互相垂直,记作直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

线面垂直的画法:

画线面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示:


 


线面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。(线线垂直线面垂直)

符号表示:

  如图所示,

 线面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
(线面垂直线线平行)


线面垂直的判定定理的理解:

(1)判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性语句,一定要记准.
(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的.
(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.

证明线面垂直的方法:

(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化.
(2)证线面垂直的方法①利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面.②利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,③利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面,④用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.⑤用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.⑥用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面的交线垂直于第三个平面.⑦利用向量证明.


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