二元一次方程的解：
使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

二元一次方程解法:
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
一、消元法
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
消元方法：
代入消元法(常用）
加减消元法（常用）
顺序消元法（这种方法不常用）
例：
    x-y=3 ①
｛
    3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
则：这个二元一次方程组的解
    x=4
｛
    y=1

(一)加减-代入混合使用的方法.
例：
     13x+14y=41 ①
｛      
     14x+13y=40②
②-①得
x-y=-1
x=y-1 ③
把③代入①得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入③得
x=1
所以:x=1,y=2
最后 x=1 ，y=2， 解出来
特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

(二)代入法
是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
带入后就是：
x+90%x-20=590
(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

（三）另类换元
例：
x:y=1:4①
5x+6y=29②
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4

二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
如：
(x+y)/2-(x-y)/3=6
3(x+y)=4(x-y)
解：
设x+y为a,x-y为b
原=a/2-b/3=6①
3a=4b②
①×6 得3a-2b=36③
把②代入③ 得2b=36 b=18
把b=18代入②得a=24
所以x+y=24④
x-y=18⑤
④-⑤得 2y=6 y=3
把y=3代入④得 x=21
x=21，y=3
是方程组的解

整体代入
如：
2x+5y=15①
85-7y=2x②
解：把②代入①得
85-7y+5y=15
-2y=-70
y=35
把y=35代入②
得x=-80
x=-80，y=35
是方程组的解

二元一次方程有两个正根的特点：
二元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
有两个正跟要满足下列3个条件
1、保证有两个跟，即：△≥0，也就是b²-4ac≥0
2、x¹+x²＞0，即 —b/a＞0
3、x¹×x²＞0，即c/a＞0
然后根据所给的条件在求出题目中要求的某些字母的值

二元一次方程整数解存在的条件：
在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程
3x+5y=1,　
5x-2y=7,　
9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程
9x+3y=10和
4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；
（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

二元一次方程整数解的方法：
①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x；
②给定x一个值,求y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解；
③根据提议对未知数x、y做出限制，确定x的可能取值，确定二元一次方程所有的整数解。

正比例函数定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

正比例函数性质：
定义域
R（实数集）

值域
R（实数集）

奇偶性
奇函数

单调性
当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。

周期性
不是周期函数。

对称性
对称点：关于原点成中心对称
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

勾股定理:
直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。
定理作用
⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
勾股定理的应用：
数学
从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

生活
勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
2、2005年珠峰高度复测行动。
测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
通俗来说，就是分三步走：
第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。